Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи
Плывя по течению, пароход делает 1 версту в 3 минуты; плывя против течения – 1 версту в 4 минуты. На каждой версте пароход в первом случае выгадывает 1 минуту. А так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 часов, или 300 минут, то, следовательно, от Энска до Иксограда 300 верст.
Действительно:
300/15 – 300/20 = 20 – 15 = 5.
Решение задачи № 86Если, для удобства обозначения, перенумеровать яйца, то у нас будут
крутое № 1 …………… к1
крутое № 2 …………… к2
всмятку № 1 …………… с1
всмятку № 2 …………… с2
всмятку № 3 …………… с3Из этих яиц можно составить следующие 10 пар:
к1 к2
к1 с1
к1 с2
к1 с3
к2 с1
к2 с2
к2 с3
с1 с2
с1 с3
с2 с3Мы видим, что только одна пара – именно первая – состоит из крутых яиц, остальные 9 не дают требуемого сочетания. Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9-ти случаях из 10-ти вы проигрываете. И если вы ставите 1 рубль, то ваш партнер, имеющий 9 шансов выиграть, должен, для уравнения шансов, поставить не 5, а 9 рублей. Решение задачи № 87
При 4-х метаниях число всех возможных положений игральной кости равно 6x6x6x6 = 1296. Допустим, что первое метание уже состоялось, причем выпало единичное очко. Тогда при трех следующих метаниях число всех возможных положений, благоприятных для Петра (т. е. выпадений любых очков, кроме единичного) = 5x5x5 = 125. Точно также возможно по 125 благоприятных для Петра расположений, если единичное очко выпадет только при втором, только при третьем или только при четвертом метании. Итак, существует 125+125+125+125 = 500 различных возможностей для того, чтобы единичное очко при 4-х метаниях появилось один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей существует 1296-500 = 796 (так как неблагоприятны все остальные случаи).
Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше (796 против 500), чем у Петра.
Решение задачи № 88Нетрудно сообразить, что все семь друзей могли встречаться только через такое число дней, которое делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6, и на 7. Наименьшее из таких чисел есть 420.
Следовательно друзья сходились все вместе только один раз в 420 дней (14 месяцев).
Решение задачи № 89Каждый из восьми присутствующих (хозяин и 7 друзей) чокается с 7 остальными; всего, значит, сочетаний по два насчитывается 8x8 = 56. Но при этом каждая пара считалась дважды (например, 3-й гость с 5-м и 5-й с 3-м считались за разные пары). Следовательно, стаканы звучали
56/2 = 28 раз.
Решение задачи № 90 Если площадь воловьей шкуры 4 квадр. метра или 4000000 кв. миллиметров, а ширина ремня 1 миллиметр, то общая длина вырезанного ремня (вероятно, Дидона вырезала его из шкуры спирально) – 4000000 миллиметров, то есть 4000 метров, или 4 километра. Таким ремнем можно окружить квадратный участок площадью в 1 кв. километр (около 90 десятин).Глава Х Обманы зрения
ЗАДАЧА № 91
Две дуги
На этом рисунке изображены две дуги, которые сопровождаются короткими штрихами. Какая дуга сильнее изогнута: верхняя или нижняя?
Рис. 63. Что кривее?
Рис. 64. Что длиннее?
ЗАДАЧА № 92 Три полоски
Какая из трех бумажных полосок, изображенных на чертеже 64-м, самая длинная?
ЗАДАЧА № 93 Два корабляПеред вами (черт. 65) два корабля: пароход и парусник. У которого из них палуба длиннее?
Рис. 65. Равны ли палубы?ЗАДАЧА № 94 Где середина?
Школьника спросили, где середина высоты начерченного здесь треугольника. Школьник показал место, обозначенное на фигуре черточкой. По его мнению, эта точка и есть середина. Поправьте его на глаз и затем проверьте его и себя бумажкой.
Рис. 66. Где середина?ЗАДАЧА № 95 Два прямоугольника
Школьник начертил два прямоугольника, пересеченные прямой линией, и утверждал, что эти прямоугольники равны. Почему он думал, что они равны?
Рис. 67. Одинаковы ли эти прямоугольники?ЗАДАЧА № 96 Шляпа иностранца
Я показывал своим знакомым картинку, представленную здесь на черт. 68-м, и они утверждали, что прямоугольник, описанный около шляпы этого иностранца, имеет форму квадрата. В чем их ошибка?
Рис. 68. Квадрат ли?ЗАДАЧА № 97 Продолжить линию
Если продолжить прямую линию ab черт. 69-го, то куда она упрется: выше точки с или ниже?
Рис. 69. Куда упрется линия?ЗАДАЧА № 98 Что длиннее?
Какая из линий ab , cd или ef на черт. 70-м самая длинная?
Рис. 70. Сравните ab , cd и ef .ЗАДАЧА № 99 Поместится ли?
Поместится ли в промежутке между АВ и CD (черт. 71) изображенный здесь кружок?
Рис. 71. Поместится ли кружок между АВ и CD?ЗАДАЧА № 100 Два кружка
На черт. 72-м вы видите два заштрихованных кружка, которые кажутся одинаковых размеров. Но после того, как вы изощрили свой глазомер предыдущими упражнениями, вы, конечно, не попадете впросак. Вам нетрудно поэтому будет ответить на вопрос: какой кружок больше?
Рис. 72. Какой кружок больше?
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ №№ 91-100
№ 91. Обе дуги одинаковы.
№ 92. Все полоски одинаковой длины.
№ 93. Палубы у обоих кораблей изображены одинаковой длины.
№ 94. Середина указана правильно.
№ 95. Потому что они действительно равны.
№ 96. Ошибки нет: фигура вокруг шляпы – квадрат.
№ 97. Прямая упрется в точку с.
№ 98. Все три линии одинаковой длины.
№ 99. Кружок не помещается.
№ 100 (задача-ловушка). Кружки равны.Приложение «ТАНГРАММЫ»
Примечания
1
Для знакомых со школьной арифметикой предназначается другая книга того же автора: «Загадки и диковинки в мире чисел». Петроград. 1923 г.
2
Тиражи: 1-го издания 1916 г. – 4000 экз., 2-го – 40000 экз. В этих изданиях книжечка была выпущена под заглавием «Веселые задачи».
3
На некоторых дорогах рельсы 6-метровые. Выйдя из вагона на станции, вы можете, измеряя рельсы шагами, узнать их длину; каждые 8 шагов можно принять за 5 метров.
4
Кузьмы Пруткова.
5
Точнее, не перегнать, а отстать от Земли, т. е. двигаться по ее поверхности в сторону, обратную ее движению, так быстро, чтобы продлить для себя продолжительность суток.
6
Человек может обогнать землю и пешком – в 50-ти километрах от полюса.
7
Отсюда ясно, между прочим, что часто встречающееся в учебниках определение поверхности, как «границы тела» – несостоятельно; поверхность Мебиуса никакого тела ограничивать не может, а между тем она – поверхность.
8
Вы можете отрезать страницы Приложения по пунктирной линии, наклеить их на плотные листы бумаги, вырезать фигурки и составить из них различные силуэты.
9
Первое издание разошлось в 4000 экз., второе (1919 г.) – в 15000 экз., третье (1920 г.) – в 25000 экз.
10
Для знакомых с школьным курсом арифметики мною составлен другой сборник математических упражнений: «Загадки и диковинки в мире чисел» (Лгр., 1923, изд. 2-е).
11
Водоизмещение корабля равно наибольшему грузу, какое он может поднять (включая и вес самого судна). Тонна – около 62,5 пудов.
12
Я не сообщил этой цифры в условии задачи потому, что самая величина потери – 8-я, или 10-я, или 20-я часть – для решения задачи не имеет значения.
13
Их удобнее всего наклеивать на четыре стороны квадратного бруска.
14
Столько горошин помещается в куб. сантиметре при рыхлом сложении; при более же плотной укладке, когда одна горошина частью помещается в промежутке между соседними, горошин должно поместиться больше.
15
Впрочем, полвека тому назад такая работа была выполнена одним учителем чистописания в Англии: он аккуратно расставил в толстой тетради миллион точек, по тысяче на каждой странице.
16
Эта задача заимствована из обширного старинного русского учебника математики Ефима Войтяховского, конца XVIII века.
