Яков Перельман - Для юных математиков. Веселые задачи
– Двойное число ребер фигуры, потому что каждое ребро считалось по два раза: ведь каждое ребро соединяет две вершины.
– Именно. Вы получите удвоенное число ребер. И если допустить, что у одной из вершин сходится нечетное число ребер, а у всех прочих – четное, то результат сложения будет, конечно, число нечетное. Но может ли удвоен – ное целое число быть нечетным?
– Не может, конечно. Теперь мне вполне ясно, что «нечетных» вершин во всякой фигуре должно быть две, четыре – вообще, четное число. Все же я думаю, что и кристалл с двумя «нечетными» вершинами возможно обойти. Пусть у нас имеется фигура с двумя «нечетными» вершинами. Что мешает начать путешествие именно в одной из этих точек и закончить в другой? Тогда не понадобится ни возвращаться в первую, ни уходить из последней. Путешествие будет выполнено с соблюдением всех требуемых условий.
– Правильно! В этом и состоит секрет успешного выполнения подобных путешествий, или – что то же самое – правило вычерчивания фигур одним почерком пера. Если требуется непрерывным движением начертить фигуру – безразлично, в плоскости или в пространстве, – то прежде всего внимательно рассмотрите фигуру и определите, имеются ли у нее «нечетные» вершины, т. е. такие вершины, у которых встречается непарное число линий. Если подобных вершин в фигуре больше двух, то задача неразрешима. Если только две, – то нужно начать вычерчивание из одной «нечетной» точки и закончить в другой. Если «нечетных» вершин вовсе нет, то можете начинать чертить из любой вершины, и всегда найдется способ выполнить всю фигуру, возвратившись к начальной точке. Каким путем вы в таком случае поведете перо – безразлично. Надо только заботиться о том, чтобы не вести линию к вершине, от которой нет больше пути, т. е. стараться не замыкать фигуры раньше времени. Вот пример: фигура в форме буквы Ф (черт. 46). Можно ли ее начертить одним почерком пера?
Рис. 46.– В ней всего две «нечетные» вершины, именно концы палки. Значит, ее начертить одним почерком пера возможно. Но как?
– Надо начать с одного конца палки и кончить другим, вот так (черт. 47).
Рис. 47.– В детстве я ломал свою голову над тем, чтобы начертить одним почерком пера четырехугольник с двумя диагоналями (черт. 48). Мне этого никак не удавалось сделать.
Рис. 48.– И не удивительно: ведь в ней 4 нечетных вершины – углы четырехугольника. Бесполезно даже ломать голову над этой задачей: она неразрешима.
– А такая фигура (черт. 49)?
Рис. 49.– Ее тоже нельзя начертить одной непрерывной линией, потому что у нее 4 вершины, в каждой из которых сходится по 5 линий, т. е. у нее 4 «нечетных» вершины.
Зато легко начертить фигуры черт. 50-й и 51-й: у них все вершины «четные» (решение для черт. 51 – см. чер. 52). Теперь перейдем к той задаче, которую собирается решить наша муха: обойти по одному разу все ребра октаэдра непрерывным движением. На каждой вершине этой фигуры сходятся 4 ребра; в ней вовсе нет «нечетных» вершин. Поэтому вы можете начать путешествовать с любой вершины и возвратитесь в исходную точку. Вот одно из возможных решений (черт. 53):
Рис. 50.Рис. 51.
Рис. 52.
Рис. 53.
– А знаете, это интересный род головоломок! Дайте мне десяток подобных задач, я подумаю о них на досуге. – Извольте.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 61–70.
Из представленных на стр. 210 и 211 фигур безусловно могут быть начерчены непрерывной линией фигуры 62-я, 64-я, 65-я, 67-я, 68-я, 69-я и 70-я. В этих фигурах у всех точек пересечения сходится четное число линий, – следовательно, можно начать чертить с любой точки. Каждая точка может служить начальной, она же будет и конечной. Выполнение чертежей показано на стр. 212 и 213.
Фигура 61-я заключает только две «нечетные» точки, именно те места, где ручка молотка входит в головку: у них сходится по 3 линии. Поэтому фигуру можно начертить непрерывной линией только в том случае, если начать в одной из «нечетных» точек и кончить в другой.
То же относится и к фигуре 63-й: она содержит только две «нечетных» точки, m и n: они и должны быть начальной и конечной точкой при черчении.
Фигура 66-я заключает более двух «нечетных» точек, – а потому ее совершенно невозможно начертить одной непрерывной линией.
Рис. 54. Задачи на непрерывное вычерчивание фигур: №№ 61–66.
Рис. 55. Задачи на непрерывное вычерчивание фигур: №№ 67–70.
Рис. 56. Решение задач: №№ 61–65.
Рис. 57. Решение задач: №№ 67–70.
Глава VIII Десять разных задач
ЗАДАЧА № 71
Горизонт
Часто приходится читать и слышать, что одно из убедительных доказательств шарообразности земли – круглый вид горизонта. Так как всюду линия горизонта – окружность, то земля наша должна быть шаром.
Подумайте, однако: какую фигуру имела бы линия горизонта, если бы земля наша была не шарообразная, а плоская, бесконечно простираясь во все стороны?
ЗАДАЧА № 72
Где и когда?
Вам, вероятно, знаком бессмысленный стишок
Рано утром, вечерком,
В полдень, на рассвете…
Неведомый слагатель этих стихов стремился выразить ими заведомую нелепость и подбирал слова, одно другому противоречие.
Между тем приведенная фраза не совсем бессмысленна; существуют места на земле, где такое определение времени вполне применимо и относится к некоторому реальному моменту.
Где же и когда это бывает?
ЗАДАЧА № 73
Рост Езопа [16]
«Уверяют, что Езопова голова была длиною 7 дюймов, а ноги так длинны, как голова и половина туловища; туловище ж равно длине ног с головою.
Спрашивается рост сего славного человека».
ЗАДАЧА № 74
Пять обрывков цепи
Кузнецу принесли пять цепей, по три звена в каждой – они изображены здесь на рисунке (черт. 58) – и поручили соединить их в одну цепь.
Рис. 58. Обрывки цепи.
Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать о том, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что придется раскрыть и снова заковать четыре кольца.
Нельзя ли, однако, выполнить ту же работу, раскрыв меньше колец?
ЗАДАЧА № 75 Четырьмя пятеркамиНужно выразить число 16 с помощью 4 пятерок, соединяя их знаками действий.
Как это сделать?
ЗАДАЧА № 76 ВишняМякоть вишни окружает ее косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?
ЗАДАЧА № 77 ДыниПродаются две дыни. Одна, окружностью 72 сантиметра, стоит 40 рублей. Другая, окружностью 60 сантиметров, стоит 25 рублей.
Какую дыню выгоднее купить?
ЗАДАЧА № 78 Удивительная затычкаВ доске выпилены три отверстия: одно – квадратное, другое – круглое, третье – в форме креста. На нашем чертеже 59-м вы видите эти отверстия.
Рис. 59. Заткнуть эти отверстия одной и той же затычкой.Нужно изготовить затычку такого фасона, чтобы она годилась для каждого из этих отверстий.
Вам кажется, что такой всеобщей затычки быть не может: отверстия чересчур разнообразны по форме.
Могу вас уверить, что подобная затычка существует. Попытайтесь найти ее.
ЗАДАЧА № 79 Модель башни ЭйфеляБашня Эйфеля в Париже, 300 метров высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее 8000000 килограммов. У моего знакомого есть точная модель знаменитой башни, весящая всего только один килограмм.
Какой она высоты? Выше стакана или ниже?
ЗАДАЧА № 80 Муха на лентеУ меня была в руках длинная бумажная лента, с одной стороны красная, с другой – белая. Я склеил ее концы и получившееся бумажное кольцо положил на стол.
Внимание мое привлекла муха, севшая на красную сторону ленты и начавшая странствовать по ней. Я стал следить за ее путешествием вдоль ленты и, к изумлению, заметил, что, побродив немного по ленте, она очутилась на противоположной, белой стороне, хотя все время оставалась на ленте и нигде не переползала через ее край. Продолжая следить за ее движениями, я вскоре увидел ее снова на красной стороне ленты, хотя положительно мог утверждать, что она не переступала и не перелетала через края ленты и ползла все время, не покидая ее. Не объясните ли вы, как могло это случиться?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 71-80
Решение задачи № 71Если бы земля была совершенно плоская, линия горизонта и в таком случае была бы окружностью!
Действительно: что такое горизонт? Линия, по которой небесный свод кажущимся образом встречается с землей. Но свод небесный имеет форму шаровой поверхности. По какой же другой линии может пересекаться шаровая поверхность с плоскостью, как не по окружности?
Итак, круглая форма горизонта сама по себе не доказывает еще, что земля кругла!
