Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Публикация «Mysterium Cosmographicum» стала поводом для знакомства Кеплера с Тихо Браге; местом встречи, состоявшейся 4 февраля 1600 года, стала Прага, в то время – резиденция императора Священной Римской Империи. В итоге этой встречи в октябре того же 1600 года Кеплер перебрался в Прагу и стал помощником Тихо Браге (из-за своей лютеранской веры он был вынужден покинуть католический Грац). После смерти Браге 24 октября 1601 года Кеплер стал придворным математиком.
Тихо оставил массу наблюдений, в особенности связанных с орбитой планеты Марс, и Кеплер, опираясь на эти данные, открыл первые два закона движения планет, названные его именем. Первый закон Кеплера гласит, что орбиты известных планет вокруг Солнца – не окружности, а эллипсы с Солнцем в одном из фокусов (рис. 62; для наглядности эллипс вытянут гораздо сильнее, чем на самом деле). У эллипса есть две точки, так называемые фокусы, такие, что сумма расстояний любой точки эллипса до обоих фокусов всегда постоянна. Второй закон Кеплера утверждает, что планета движется быстрее всего, когда она ближе всего к Солнцу (эта точка называется перигелий), а медленнее всего – в самой дальней точке (афелии), так что линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает (заметает) равные площади за равные промежутки времени (рис. 62). Вопрос о том, благодаря чему законы Кеплера справедливы, был главной нерешенной загадкой науки почти семьдесят лет после того, как Кеплер опубликовал свои законы. Понадобился гений Исаака Ньютона (1642–1727), чтобы сделать вывод, что планеты держатся на орбитах благодаря силе тяготения. Ньютон объяснил законы Кеплера при помощи уравнений, где законы, описывающие движение тел, сочетались с законом всемирного тяготения. Он показал, что эллиптические орбиты с переменной скоростью (согласно законам Кеплера) и предоставляют собой единственное возможное решение этих уравнений.
Рис. 61
Рис. 62
Героические усилия Кеплера по расчету орбиты Марса (много сотен листов арифметических выкладок и их толкований, которые сам он называл «моей военной кампанией против Марса»), по мнению многих исследователей, знаменуют рождение современной науки. В частности, в какой-то момент Кеплер обнаружил круговую орбиту, которая соответствовала почти всем наблюдениям Тихо Браге. Однако в двух случаях эта орбита предсказывала позиции, отличавшиеся от наблюдений примерно на четверть углового диаметра полной луны. Об этом Кеплер писал так: «Стоило мне предположить, что мы можем пренебречь этими восемью минутами [дуги], и я вписал бы мою гипотезу в соответствующую 16 главу. Но поскольку пренебрегать ими непозволительно, выходит, что эти восемь минут указали путь к полнейшей реформе астрономии».
Годы, проведенные Кеплером в Праге, принесли обильные плоды и в астрономии, и в математике. В 1604 году он обнаружил «новую» звезду, известную теперь как Сверхновая Кеплера. Сверхновая – это мощный взрыв, при котором звезда, конец которой близок, сбрасывает свои внешние оболочки, которые при этом движутся со скоростью в десятки тысяч километров в секунду. В нашей родной галактике Млечный Путь подобная вспышка, по расчетам ученых, должна происходить в среднем раз в сто лет. И в самом деле, Тихо Браге открыл сверхновую в 1572 году (Сверхновая Тихо Браге), а Кеплер открыл свою в 1604 году. Однако с тех пор, по неясным причинам, других сверхновых в Млечном пути не было (кроме еще одной, которая, судя по всему, вспыхнула в 1660 годах, но осталась незамеченной). Астрономы шутят, что подобное отсутствие сверхновых, скорее всего, связано с тем, что после Тихо Браге и Кеплера не было великих астрономов.
В июне 2001 года я побывал в Праге, в доме, где жил Кеплер, по адресу Карлова улица, 4. Сейчас это оживленная торговая улица, и ржавую мемориальную дощечку над номером 4, где значится, что здесь с 1605 по 1612 год жил Кеплер, легко не заметить. Владелец магазинчика, расположенного прямо под квартирой Кеплера, даже не знал, что здесь жил один из величайших астрономов в истории. Правда, в унылом внутреннем дворике стоит маленькая армиллярная сфера с вырезанным на ней именем Кеплера, а возле почтовых ящиков висит еще одна мемориальная дощечка. Однако квартира Кеплера вообще никак не отмечена и не открыта для публики – сейчас это просто жилая квартира, каких много на верхних этажах над магазинами, и ее занимает обычное семейство.
Математические труды Кеплера внесли несколько ярких штрихов в историю золотого сечения. В тексте письма, которое Кеплер написал в 1608 году одному лейпцигскому преподавателю, мы обнаруживаем, что он открыл соотношение между числами Фибоначчи и золотым сечением. Об этом открытии он сообщает также в эссе, где изучает, почему снежинки имеют шестиконечную форму. Кеплер пишет:
Из двух правильных геометрических тел – додекаэдра и икосаэдра… эти два правильных многогранника и, по сути дела, структуру самого правильного пятиугольника невозможно выстроить без божественной пропорции, как называют ее нынешние геометры. Она устроена так, что два меньших члена прогрессии вместе составляют третий, а два последних, если их сложить, составляют непосредственно следующий за ними, и так далее до бесконечности, если не нарушать и продолжать эту пропорцию… Чем дальше мы отходим от номера первого, тем совершеннее становится пример. Пусть самыми маленькими числами будут 1 и 1… сложи их, и сумма будет 2, прибавь это число к последнему из 1, получишь 3, прибавь к нему 2 и получишь 5, прибавь три – получишь 8; 5 к 8–13; 8 к 13–21. Как 5 к 8, так и 8 к 13 – приблизительно, – и как 8 к 13, так и 13 к 21 – приблизительно.
Иначе говоря, Кеплер обнаружил, что отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению. По сути дела, он открыл и еще одно интересное свойство чисел Фибоначчи – что квадрат любого члена последовательности отличается не более чем на 1 от произведения двух соседних членов последовательности. Например, поскольку последовательность Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …, то если мы рассмотрим 32 = 9, то 9 лишь на 1 отличается от произведений двух членов последовательности, соседних с 3: 2 × 5 = 10. Подобным же образом 132 = 169 отличается на 1 от 8 × 21 = 168 и т. д. Это качество чисел Фибоначчи подводит нас к удивительному парадоксу, который первым обнаружил великий изобретатель математических головоломок Сэм Лойд (1841–1911).
Рассмотрим квадрат со стороной 8 (с площадью 82 = 64) на рис. 63. Теперь разрежем его на четыре части по намеченным линиям. Из этих четырех кусочков можно составить прямоугольник (рис. 64) со сторонами 13 и 5 – то есть с площадью 65! Откуда взялся дополнительный квадратик?! Ответ на этот парадокс состоит в том, что на самом деле детали головоломки не сходятся идеально вдоль длинной диагонали прямоугольника, получается длинный узкий параллелограмм, которого не видно из-за жирной линии, обозначающей длинную диагональ на рис. 64, и его площади как раз хватает на площадь одного квадратика-единицы. Само собой, 8 – число Фибоначчи, и его квадрат 82 = 64 отличается на 1 от произведения двух соседних чисел Фибоначчи (3 × 5 = 65): свойство, которое открыл Кеплер.
Рис. 63
Рис. 64
Наверное, вы уже заметили, что Кеплер именует золотое сечение «божественной пропорцией, как называют ее нынешние геометры». Все научные изыскания Кеплера окрашены сочетанием рациональных рассуждений с христианскими убеждениями. Кеплер был естествоиспытателем-христианином и считал своим долгом понять не только устройство Вселенной, но и намерения ее Творца. Свою гипотезу о Солнечной системе он строил под влиянием сильной тяги к числу 5, перенятой у пифагорейцев, и о золотом сечении писал следующим образом:
Особенность этого соотношения заключается в том, что похожую пропорцию можно построить из целого и большей части, и то, что раньше было большей частью, теперь становится меньшей, а то, что раньше было целым, теперь становится большей частью, а сумма их обладает соотношением целого. Так происходит до бесконечности, а божественная пропорция всегда сохраняется. Я полагаю, что эта геометрическая пропорция и послужила идеей Творцу, когда Он творил подобное из подобного по образу и подобию Своему – и это тоже происходит до бесконечности. Число пять я вижу почти во всех цветках, которые прокладывают путь плодам, то есть творению, и которые существуют не ради себя самих, а ради того, чтобы за ними последовали плоды. Сюда можно включить почти все цветы плодовых деревьев; следует, вероятно, исключить лимоны и апельсины, хотя я не видел их цветов и сужу лишь по плодам или ягодам, которые поделены не на пять, а на семь, одиннадцать или девять долек. Однако воплощение числа пять в геометрии, то есть правильный пятиугольник, строится посредством божественной пропорции, которую мне бы хотелось [предположительно считать] прототипом Творения. Более того, [она] наблюдается и между движением Солнца (или, как я полагаю, Земли) и Венеры, которая стоит на вершине порождающей способности соотношения 8 и 13, которое, как мы еще услышим, подходит очень близко к божественной пропорции. Наконец, согласно Копернику, сфера Земли расположена посередине между сферами Марса и Венеры. Пропорцию между ними можно получить из додекаэдра и икосаэдра, оба из которых в геометрии производятся из божественной пропорции – однако акт творения происходит именно на нашей Земле.
