Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Рис. 58
Ответ на первые два вопроса, которые занимали Кеплера, дан в первом его трактате под названием «Mysterium Cosmographicum» («Космографическая загадка»), который вышел в свет в 1597 году. Полное название, приведенное на титульном листе книги (рис. 59; хотя там стоит дата публикации 1596, вышла книга только в следующем году) гласит: «Предварительное введение в космографические рассуждения, содержащее вселенскую загадку восхитительных пропорций Небесных Сфер, а также Истинные и Подлинные Причины их Размеров, Количества и Периодического Движения Небес, доказанные при помощи Пяти Правильных Геометрических Тел».
Рис. 59
Ответ на вопрос, почему планет именно шесть, дался Кеплеру очень просто: потому что правильных платоновых тел ровно пять. Если считать, что они задают промежутки между планетами, получается шесть промежутков, считая внешнюю сферическую границу – небеса с фиксированными звездами. Более того, модель Кеплера призвана дать ответ и на вопрос о размерах орбит. Вот как пишет сам ученый:
Земная сфера есть мера всех остальных орбит. Опиши вокруг нее додекаэдр. Сфера, его окружающая, будет сферой Марса. Опиши вокруг Марса тетраэдр. Сфера, окружающая его, будет сферой Юпитера. Опиши куб вокруг Юпитера. Окружающая его сфера будет сферой Сатурна. Теперь впиши икосаэдр в орбиту Земли. Вписанная в него сфера будет сферой Венеры. Впиши октаэдр в орбиту Венеры. Сфера, вписанная в него, будет сферой Меркурия. Вот тебе и обоснование количества планет.
На рис. 60 показана схема из «Mysterium Cosmographicum», иллюстрирующая космологическую модель Кеплера. Кеплер довольно пространно объясняет, почему он проводит конкретные параллели между платоновыми телами и планетами на основании их геометрических, астрологических и метафизических свойств. Он расположил геометрические тела на основании их отношения к сфере, предположив, что разница меду сферой и остальными геометрическими телами отражает разницу между творцом и творением. Подобным же образом куб характеризуется одним-единственным углом – прямым. Для Кеплера это символизировало одиночество, которое ассоциируется с Сатурном, и т. д. Вообще говоря, астрология была для Кеплера так важна, поскольку «Человек есть венец Вселенной и всего творения», и метафизический подход обосновывался тем обстоятельством, что «математические свойства – причины физических, поскольку Бог с самого начала времен заключал в себе математические объекты как простые божественные абстракции, служившие прототипами для различных количеств на материальном уровне». Положение Земли было выбрано так, чтобы разделять тела, которые можно поставить стоймя (куб, тетраэдр и додекаэдр), от тел, которые «парят» (октаэдра и икосаэдра).
Рис. 60
Расстояния между планетами, полученные из этой модели, в одних случаях вполне совпадали с действительностью, а в других заметно отличались, правда, различие составляло не более 10 %. Кеплер был непоколебимо убежден в правильности своей модели и несоответствия списывал на погрешности измерения орбит. Он разослал экземпляры своей книги различным астрономам, чтобы они высказали свои замечания и предложения; в их числе был и один из самых выдающихся ученых того времени датчанин Тихо Браге (1546–1601). Один экземпляр попал даже в руки великому Галилео Галилею (1564–1642), который сообщил Кеплеру, что тоже уверен в правильности модели Коперника, однако с огорчением признал, что «огромному множеству людей, ибо таково количество дураков», Коперник «представляется достойным предметом для осмеяния и освистывания».
Нет нужды говорить, что космологическая модель Кеплера, основанная на платоновых телах, была не просто совершенно неверной, но и безумной даже по меркам современников ученого. Открытие Урана (следующей планеты после Сатурна, если считать от Солнца) в 1781 году и Нептуна (следующей после Урана) в 1846 году забили последний гвоздь в крышку гроба этой мертворожденной идеи. Тем не менее, нельзя недооценивать значение модели Кеплера в истории науки. Как отметил астроном Оуэн Джинджерич в статье, посвященной биографии Кеплера: «В истории редко случалось, чтобы столь ошибочная книга направила дальнейшее течение науки в столь верное русло». Кеплер опирался на пифагорейскую идею мироздания, и математики назвали бы это большим шагом вперед. Он разработал математическую модель Вселенной, которая, с одной стороны, была основана на имевшихся на тот момент данных наблюдений, а с другой – могла быть опровергнута последующими наблюдениями. Именно это и есть необходимые составные части «научного метода» – организованного подхода к объяснению наблюдаемых фактов на основании модели природы. Идеальный научный метод начинается со сбора фактов, затем предлагается модель, а потом то, что она предсказывает, проверяется в ходе либо искусственных экспериментов, либо дальнейших наблюдений. Иногда этот процесс описывают тремя словами: индукция, дедукция, проверка. В 1610 году Галилей при помощи своего телескопа открыл еще четыре небесных тела в Солнечной системе. Если бы было доказано, что это планеты, теории Кеплера был бы нанесен смертельный удар еще при жизни ученого. Однако, к вящей радости Кеплера, новые тела оказались спутниками Юпитера, подобными нашей Луне, а не новыми планетами, обращающимися вокруг Солнца.
Современные физические теории, нацеленные на объяснение существования всех элементарных (субатомных) частиц и основных взаимодействий между ними, также основаны на математической симметрии и в этом смысле очень похожи на теорию Кеплера, который опирался на симметричные качества платоновых тел, дабы объяснить количество и свойства планет. У модели Кеплера была еще одна общая черта с современной фундаментальной теорией Вселенной: обе теории по своей природе редукционистские, то есть они стремятся объяснить много явлений малым количеством физических законов. Например, модель Кеплера выводит и количество планет, и свойства их орбит из платоновых тел. Подобным же образом современные теории – например, теория струн – опирается на основополагающие сущности (струны), очень маленькие (более чем в миллиард миллиардов раз меньше атомного ядра), из которых выводятся все свойства элементарных частиц. Струны – подобно скрипичной струне – вибрируют и порождают разнообразные «тоны», и все известные элементарные частицы всего-навсего воплощают эти тоны.
Во время пребывания в Граце Кеплер интересовался золотым сечением, что привело к другому интересному результату. В октябре 1597 года ученый написал своему бывшему учителю Местлину о следующей теореме: «Если на отрезке, разделенном в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник так, чтобы прямой угол лежал на перпендикуляре, проведенном в точке разделения, то меньший катет будет равняться большему сегменту разделенного отрезка». Чертеж к этой теореме представлен на рис. 61. Отрезок АВ разделен точкой С в золотом сечении. Кеплер строит прямоугольный треугольник ADB с гипотенузой АВ так, что прямой угол D лежит на перпендикуляре, проведенном из точки золотого сечения С. Затем он доказывает, что BD (короткий катет прямоугольного треугольника) равен АС (более длинному сегменту отрезка, разделенного в золотом сечении). Кроме применения золотого сечения, такой треугольник примечателен еще и тем, что исследователь пирамид Фридрих Ребер в 1855 году приводит его при доказательстве одной из ложных теорий, предполагавших применение золотого сечения при строительстве пирамид. О трудах Кеплера Ребер не знал, однако применил похожее построение, чтобы подтвердить свое мнение о важнейшей роли «божественной пропорции» в архитектуре.
Публикация «Mysterium Cosmographicum» стала поводом для знакомства Кеплера с Тихо Браге; местом встречи, состоявшейся 4 февраля 1600 года, стала Прага, в то время – резиденция императора Священной Римской Империи. В итоге этой встречи в октябре того же 1600 года Кеплер перебрался в Прагу и стал помощником Тихо Браге (из-за своей лютеранской веры он был вынужден покинуть католический Грац). После смерти Браге 24 октября 1601 года Кеплер стал придворным математиком.
Тихо оставил массу наблюдений, в особенности связанных с орбитой планеты Марс, и Кеплер, опираясь на эти данные, открыл первые два закона движения планет, названные его именем. Первый закон Кеплера гласит, что орбиты известных планет вокруг Солнца – не окружности, а эллипсы с Солнцем в одном из фокусов (рис. 62; для наглядности эллипс вытянут гораздо сильнее, чем на самом деле). У эллипса есть две точки, так называемые фокусы, такие, что сумма расстояний любой точки эллипса до обоих фокусов всегда постоянна. Второй закон Кеплера утверждает, что планета движется быстрее всего, когда она ближе всего к Солнцу (эта точка называется перигелий), а медленнее всего – в самой дальней точке (афелии), так что линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает (заметает) равные площади за равные промежутки времени (рис. 62). Вопрос о том, благодаря чему законы Кеплера справедливы, был главной нерешенной загадкой науки почти семьдесят лет после того, как Кеплер опубликовал свои законы. Понадобился гений Исаака Ньютона (1642–1727), чтобы сделать вывод, что планеты держатся на орбитах благодаря силе тяготения. Ньютон объяснил законы Кеплера при помощи уравнений, где законы, описывающие движение тел, сочетались с законом всемирного тяготения. Он показал, что эллиптические орбиты с переменной скоростью (согласно законам Кеплера) и предоставляют собой единственное возможное решение этих уравнений.
