Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
За исключением старомодных учебников, редко встретишь «соотношения» и «пропорции» в современных научных трудах. «Соотношение» числа m к числу n записывается как m/n или . Если соотношение m: n равно соотношению r: s, в античные времена записали бы m:: n:: r: s; а в наши дни или m/n = r/s. Даже использование старой манеры записи понять много легче, чем то, что использовали пифагорейцы и их греческие последователи. Они не имели столь выразительных математических символов, как у нас, а все описывали словами, как в предыдущем отрывке у Платона. «Существенными деталями являются «пропорция» и «среднее значение».
Четыре числа, скажем m, n, r, s, связаны «пропорцией», где первое соотносится со вторым, как третье с четвертым, или на языке дробей, где дробь m: n равна дроби r: s. Следовательно, m, n, r, s состоят «в отношении», если m: n:: r: s в нашем простом примере, , есть «условия» «пропорции».
Возникает множество специальных случаев. Такие, как средние значения n, r, равны и, следовательно, r = n и m: n:: n: s, которые были очень важны для пифагорейцев, а также для греческих геометров. В этом случае n именовалось «средним геометрическим значением» между экстремальными точками n, s «среднего пропорционального значения» для n, s. Переводя все на понятный язык дробей, имеем , и, таким образом, как известно ученику начальной школы («освобождаемся от дробей»), m × s = n × n, в элементарной алгебре ms = n2.
Следовательно, «среднее геометрическое значение» (n) двух чисел (m, s) есть корень квадратный () от их результата (ms). Арифметика в тексте Платона означала именно это. Из «пропорции» незамедлительно следует, что (если обе дроби равны, результатом деления будет 1, поскольку каждая из них также равна). Это как раз то, что он говорит: m: n:: n: s, – из чего следует, что n: m:: s: n, где «среднее значение» n в первоначальной «пропорции» становится как первым, так и последним вторым числом, а первое и последнее m, s в первоначальной пропорции становятся «средними значениями» в «пропорции», вытекающей из первоначальной. Таким образом, элементарная арифметика у Платона в порядке.
Чтобы разобраться в других замаскированных арифметических расчетах философии Платона, надо вспомнить следующие дефиниции.
В последовательности чисел
1, 5, 9, 13, 17, 21
шаг между числами остается прежним – 4. Числа формируют «арифметическую прогрессию» с первым членом 1 и «разностью арифметической прогрессии» 4. Арифметическая прогрессия с начальным членом 6 и разностью 5 следующая:
6, 11, 16, 21, 26, 31…
Бросается в глаза, что 16 = 1/2 (11 + 21), 21 = 1/2 (16 + 26) и так далее, где каждое последующее число после первого есть половина суммы от своих правого и левого соседей. По этой причине каждое число после первого называется «средним арифметическим значением» непосредственно предшествующего числа и непосредственно последующего.
Теперь, допустим, мы делим 1 на каждое число в данной арифметической прогрессии, скажем второй сверху:
1/6, 1/11, 1/16, 1/21, 1/26, 1/31…
Полученная последовательность чисел называется «гармонической прогрессией», где каждое число после первого является «гармоническим средним значением» своих непосредственных соседей. В качестве примера одна из последовательностей
3/4, 1, 5/4, 3/2, 7/4, 2, 9/4…
4/3, 1, 4/5, 2/3, 4/7, 1/2, 4/9…
арифметическая прогрессия, а вторая – «гармоническая прогрессия».
Третьим и последним видом прогрессии, постоянно упоминающимся Платоном, является «геометрическая», в которой каждое число после первого получается путем умножения предыдущего числа на постоянный множитель. Например:
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192…
является геометрической прогрессией с первым числом 3 и множителем, или общим коэффициентом, 2. «Среднее геометрическое значение» 6 и 24 есть число 12, расположенное между ними, среднее геометрическое значение 48 и 192 есть 96 и т. д.
Несложные алгебраические преобразования продемонстрируют, что если A, H, G соответственно арифметическое, «гармоническое» и геометрическое средние значения чисел M, N, тогда
Еще чуть-чуть, и становится очевиден простой факт, который обрадовал и ввел в заблуждение древних нумерологов, включая Платона, ведь получается, что G есть среднее геометрическое значение для A and H. В целом, похоже, греческим философам повезло, что они не знали алгебры. Теперь вся элементарная и замаскированная алгебра Платона стала настолько банальной для современных школьников, что любой математик обязан восхититься упрямой изобретательностью, которая впервые задумалась над этим пусть и устно, без математических символов любого рода. Выражение, что A/G = G/H, или A: G:: G: H, было названо пифагорейцами «совершенной пропорцией». Говорят, что его принес Пифагор в Кротон из Вавилона. Любой математик с достаточно развитым воображением в состоянии лишить себя на мгновение всей накопленной техники и задуматься над риторической арифметикой VI века до н. э. и согласиться с братством пифагорейцев, что «совершенная пропорция» не могла быть изобретением человека, а только творением лично Великого арифметика вселенной.
«Гармоническая прогрессия» и среднее «гармоническое значение», не выраженное явно в важном открытии, является результатом нумерологического выражения закона музыкальных интервалов, который вдохновил Пифагора на его изречение «Все сущее есть число». Он и его ученики искали музыку и гармонию в четырех элементах всех материальных вещей и небесных тел. То, что они нашли искомое, не столь удивительно, когда мы вспомним, что вся гармония, весь космос, все предметы и все тела, небесные и земные, вписаны в декады, которые в основе всего. После того как Платон изложил теорию, продолжив по окончании доказательства, что все есть единица, а следовательно – божество: «Если теперь рамки вселенной были созданы просто как поверхность без глубины, единица приобрела значение достаточное, чтобы объединить ее с другими условиями. Но поскольку мир должен быть тверд, а твердые тела всегда плотные, и не по одной причине, а по двум, бог дал воду и воздух как среднее значение между огнем и землей и, насколько это возможно, заставил их придерживаться пропорции, поскольку огонь нужен воздуху, воздух нужен воде, а если воздух нужен воде, то вода нужна земле. Так он создал и объединил видимые и осязаемые небеса. Вне четырех элементов он расположил тела во Вселенной в совершенной гармонии и пропорции (совершенной пропорции). Будучи, таким образом, наделенным духом дружбы, в полном единении с самим собой, космос стал неразрушимым для любой другой руки, кроме руки творца».
Не вдаваясь в детали этого конкретного утверждения об основных принципах, отметим, что «дух дружбы» относится к любопытным особенностям конкретных пар чисел, открытых пифагорейцами. Если каждое из чисел m, n равно сумме делителей эфира, то т, п называются «дружественной парой чисел», а m, n становятся «дружескими», или «дружественными», числами. Что касается делителей «совершенных чисел», само число не рассматривается как делитель. Наименьшие «дружественные числа» – это 220 и 284. Пифагорейцы рассматривали этот близкий союз между «дружественными числами» как концентрированное выражение дружбы и глубоко спрятанную душу гармонии.
Платон подвел итог своему рассказу о создании мироздания абсолютно нумерологическим отрывком, в котором показал, что бог одарил мир любовью к универсальному Животному, «содержащему в себе всех других животных». Доказательство, что это Мировое Животное не знает смерти и разложения, как у других животных, включая человека в его бренном теле, было невразумительно даже для нумерологии. Цитируемая часть, однако, представляет глубокий научный интерес, при этом науку следует понимать в духе пифагорейцев. Двух-трех комментариев хватит для ясного понимания. Следующий текст – просто краткий курс пифагорейской космогонии и космологии.
Правильное твердое тело – это тело, стороны которого составляют правильные многоугольники, одинаковые по размеру и форме. Если быть точным, пять правильных тел возможны и могут быть построены в нашем трехмерном пространстве (Евклида). Первое – это тетраэдр, у которого четыре равносторонних треугольника составляют стороны, второе – куб, или шестигранник, у которого шесть квадратов составляют стороны, третье – восьмигранник, где восемь равносторонних треугольников составляют стороны, четвертое – двенадцатигранник, у которого двенадцать правильных пятиугольников составляют стороны, и пятое – это двадцатигранник, у которого двадцать равносторонних треугольников составляют стороны. Четырехгранник, шестигранник, восьмигранник, двадцатигранник, но не двенадцатигранник были известны Пифагору. И когда ранние пифагорейцы ошибочно предположили, что возможно создание и существование только четырех правильных тел (очень скоро Платон докажет существование пяти), это вдохновило их на доказательство, что все четыре соответствуют четырем базовым элементам материальных тел.
