Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика
Легенды об Архимеде
Хотя Архимед был умелым инженером, по легенде, его больше всего интересовали теоретические задачи геометрии. «Архимед, — пишет Плутарх, — был человеком такого возвышенного образа мыслей, такой глубины души и богатства познаний, что о вещах, доставивших ему славу ума не смертного, а божественного, не пожелал написать ничего, но, считая сооружение машин и вообще всякое искусство, сопричастное повседневным нуждам, низменным и грубым, все свое рвение обратил на такие занятия, в которых красота и совершенство пребывают не смешанными с потребностями жизни». И действительно, неизвестно никаких исследований Архимеда, посвященных военным машинам, однако следует учитывать, что множество его работ утрачены, а в сохранившихся можно увидеть практическую направленность — например, Архимед доказал, что число π чуть меньше 22/7 и чуть больше 223/71. Он вообще выделялся на фоне остальных математиков Древней Греции, а благодаря решению некоторых задач стал героем легенд и анекдотов.
Кто не знает изречений «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю» или «Эврика!»? Очевидно, что все они хотя бы отчасти соответствуют действительности. Вспомним известную легенду, в которой рассказывается, как Архимед смог определить, из чистого ли золота сделана корона царя Гиерона, использовав разницу плотности золота и серебра. Решив задачу, Архимед издал всем известный возглас «Эврика!», который позднее стал боевым кличем ученых. Витрувий в девятой из «Десяти книг об архитектуре» рассказывает эту историю так: «Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий, решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотой венец, он заказал сделать его за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении венца в него было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он, не медля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика!»[4]
* * *
НАГОТА АРХИМЕДА
Архимед изображен нагим не только в истории об «Эврике». В других сценах, исполненных гедонизма, мы вновь встречаем похожие описания: «И нельзя не верить рассказам, будто он был тайно очарован некоей сиреной, не покидавшей его ни на миг, а потому забывал о пище и об уходе за телом, и его нередко силой приходилось тащить мыться и умащаться, но и в бане он продолжал чертить геометрические фигуры на золе очага и даже на собственном теле, натертом маслом, проводил пальцем какие-то линии — поистине вдохновленный Музами, весь во власти великого наслаждения»[5] — пишет Плутарх в «Сравнительных жизнеописаниях».
Эта «вдохновленность Музами», свойственная любому ученому, погруженному в себя, не раз вызывала возмущение церковных сановников: они видели в этом некий эротизм, уподоблявший страсть к науке плотским страстям. Известны слова Блаженного Августина: «Помимо вожделения плоти, которое заключается в удовольствии всех чувств и которому уступают те, кто становится его рабом, удаляясь от Господа, также удаляется душой от Господа тот, кто испытывает пустое любопытство, скрытое под эвфемизмами "знание" и "наука"». Отголосок этой мысли слышится во фразе Стивена Хокинга, одного из известнейших ученых наших дней: «Самое приятное в жизни — открывать что-то, о чем раньше никто не знал. Я сравнил бы это с сексом, но он проходит куда быстрее, чем это потрясающее ощущение».
Гравюра конца XVI века, на которой изображена знаменитая история «Эврики!» Архимеда.
* * *
Эта история, как и все ее версии, не совсем верна с научной точки зрения. Как в свое время совершенно справедливо заметил Галилей, опыт Архимеда, несомненно, был намного точнее, чем это описано в исторических анекдотах. Очевидно, что если бы Витрувий включил в свой рассказ подробное изложение опыта Архимеда, его история утратила бы часть своей привлекательности, так как образ нагого ученого, кричащего «Эврика, Эврика!», привлекает намного большее внимание, чем образ того же ученого, склонившегося за рабочим столом.
Легенду, согласно которой Архимед сжег римские военные корабли с помощью зеркал, решительно можно считать художественным вымыслом. В исторических источниках, ближайших по времени к эпохе Архимеда, его подвиги как военного инженера описываются в возвышенных тонах и с большими преувеличениями, однако зажигательные зеркала не упоминаются. Вероятно, этот эпизод был добавлен к историям о чудесных боевых машинах Архимеда позже, тем более что он вряд ли располагал необходимыми технологиями для изготовления таких зеркал. Возможно, он знал, как их можно сделать, и по этой причине изобретение приписывается именно ему.
Гравюра, посвященная легендарному изобретению Архимеда — зажигательным зеркалам, с помощью которых он сжег вражеские корабли при осаде Сиракуз.
Точнее говоря, Архимед, разумеется, знал, что зеркало в форме параболоида вращения фокусирует солнечные лучи в определенной точке, называемой фокусом. Для тех читателей, кто не знаком с параболоидом вращения, укажем, что это поверхность, получаемая вращением параболы вокруг оси.
Архимед доказал несколько удивительных утверждений о параболах. Одно из них, касающееся квадратуры параболы, мы используем в качестве примера, показывающего, как гармоничное сочетание математических идей рождает красоту в математике.
Квадратура параболы
Парабола входит в число конических сечений, то есть кривых, получаемых сечением конуса плоскостью. В зависимости от расположения этой плоскости сечением конуса будет окружность, эллипс, гипербола или парабола. Последнюю мы получим, когда секущая плоскость расположена параллельно образующей конуса.
Полное фото семейства: конус и его отпрыски.
Греки попытались решить задачу о квадратуре для областей, ограниченных каждой из этих кривых, с помощью циркуля и линейки. В случае с окружностью и эллипсом они потерпели неудачу, так как для вычисления искомой квадратуры требовалось знать точное значение числа π. Неудача постигла их и при вычислении квадратуры гиперболы, так как для этого требовалось рассчитать логарифмы. Однако им удалось квадратуру параболы — это сделал Архимед тремя разными способами, один удивительнее другого. Рассуждения Архимеда изложены в его труде под названием «Метод» — об удивительной истории этой книги мы расскажем позже.
Парабола может быть определена не только как коническое сечение, но и следующим способом. Допустим, дан угол с вершиной в точке А, образованный сторонами АВ и АС. Обозначим через r соотношение длин этих сторон: r = АВ/АС. Предлагаем читателю выбрать произвольную точку на отрезке АС. Она будет располагаться на некотором расстоянии от вершины А (обозначим его через d). Соедините эту точку с точкой отрезка АВ, находящейся на расстоянии d·r от В. Если вы проведете это построение для всех точек стороны АС, построенные отрезки будут описывать кривую, являющуюся частью параболы. Эта кривая изображена на следующем рисунке: слева показаны несколько точек отрезка АС, соединенные с соответствующими точками отрезка АВ, справа — парабола, описанная этими отрезками.
Осью этой части параболы будет прямая, соединяющая точку А с серединой отрезка ВС. Точка V, где ось пересекает параболу, называется вершиной.
Парабола, ее ось и вершина.
Рассмотрим сегмент параболы BVC с вершиной в точке V.
На этом сегменте параболы мы построим треугольник с вершинами D, В и С: сторона DB будет параллельной оси сегмента параболы и пройдет через точку В, а сторона DC будет касаться параболы в точке С.
