Яков Перельман - Живая математика. Математические рассказы и головоломки
7 375 428 413:125 473 = 58 781.
Обе последние, весьма нелегкие задачи были впервые опубликованы в американских изданиях: «Математическая газета», 1920 г. и «Школьный мир», 1906 г.
103. В квадратном метре тысяча тысяч квадратных миллиметров. Каждая тысяча приложенных друг к другу миллиметровых квадратиков составляет 1 м; тысяча тысяч их составляет 1000 м, т. е. 1 км: полоска вытянется на целый километр.
104. Ответ поражает неожиданностью: столб возвышался бы на… 1000 км.
Сделаем устный расчет.
В кубометре содержится кубических миллиметров тысяча х тысячу х тысячу. Каждая тысяча миллиметровых кубиков, поставленных один на другой, дадут столб в 1000 м = 1 км. А так как у нас кубиков еще в тысячу раз больше, то и составится 1000 км.
105. Из рис. 136 видно, что (вследствие равенства углов 1 и 2) линейные размеры предмета так относятся к соответствующим размерам изображения, как расстояние предмета от объекта относится к глубине камеры. В нашем случае, обозначив высоту аэроплана над землей в метрах через х, имеем пропорцию:
12000: 8 = х: 0,12,
откуда х = 180 м.
Рис. 136. Расчет высоты аэроплана
Рис. 137
Рис. 138
Рис. 139
106. Расчеты подобного рода выполняются в уме так. Надо умножить 89,4 г на миллион, т. е. на тысячу тысяч. Умножаем в два приема:
89,4 х 1000 = 89,4 кг,
потому что килограмм в тысячу раз больше грамма. Далее:
89,4 кг х 1000 = 89,4 т,
потому что тонна в тысячу раз больше килограмма. Итак, искомый вес - 89,4 т.
107. Всех путей по просекам от А до В можно насчитать 70. (Систематическое решение этой задачи возможно с помощью так называемого Паскалева треугольника, рассматриваемого в курсах алгебры.)
108. Так как сумма всех чисел, обозначенная на циферблате, равна 78, то числа каждого из шести участков должны составлять вместе 78: 6, т. е. 13. Это облегчает отыскание решения, которое показано на рис. 137.
109-110. Решения показаны на прилагаемых рис. 138 и 139.
Рис. 140
111. Трехногий стол всегда может касаться пола концами своих трех ножек, потому что через каждые три точки пространства может проходить плоскость, и притом только одна. В этом причина того, что трехногий стол не качается; как видите, она чисто геометрическая, а не физическая. Вот почему так удобно пользоваться треногами для землемерных инструментов и фотографических аппаратов. Четвертая нога не сделала бы подставку устойчивее; напротив, пришлось бы тогда всякий раз заботиться о том, чтобы подставка не качалась.
112. На вопрос задачи легко ответить, если сообразить, какое время показывают стрелки. Стрелки на левых часах (рис. 140) показывают, очевидно, 7 час. Значит, между концами этих стрелок заключена дуга в 5/12 полной окружности.
В градусной мере это составляет
Стрелки на правых часах показывают, как нетрудно сообразить, 9 ч 30 мин. Дуга между их концами содержит 3 % двенадцатых доли полной окружности, или 7/24.
В градусной мере это составляет
113. Принимая рост человека в 175 см и обозначив радиус Земли через R, имеем:
2 х 3,14 х (R + 175) - 2 х 3,14 х R = 2 х 3,14 х 175 = 1099 см,
т. е. около 11 м.
Рис. 141
Поразительно здесь то, что результат совершенно не зависит от радиуса шара и, следовательно, одинаков на исполинском Солнце и маленьком шарике.
114. Требование задачи легко удовлетворить, если расставить людей в форме шестиугольника, как показано на рис. 141.
115. На рис. 142 указаны следы сабельных ударов, а на рис. 143 видно, как надо расположить образовавшиеся 4 куска, чтобы составить второй, более характерный символ фашистской диктатуры: квадрат концентрационного лагеря.
Рис. 142
Рис. 143
Рис. 144
Рис. 145
Рис. 146
116. Читатели, слыхавшие о неразрешимости задачи квадратуры круга, сочтут, вероятно, и предлагаемую задачу неразрешимой строго геометрически. Раз нельзя превратить в равновеликий квадрат полный круг, то, думают многие, нельзя превратить в прямоугольную фигуру и луночку, составленную двумя дугами окружности. Между тем задача, безусловно, может быть решена геометрическим построением, если воспользоваться одним любопытным следствием общеизвестной Пифагоровой теоремы.
Следствие, которое я имею в виду, гласит, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна полукругу, построенному на гипотенузе (рис. 144). Перекинув большой полукруг на другую сторону (рис. 145). видим, что обе заштрихованные луночки вместе равновелики треугольнику[38].
Если треугольник взять равнобедренный, то каждая луночка в отдельности будет равновелика половине этого треугольника (рис. 146).
Рис. 147
Рис. 148. Превращение квадрата в крест
Отсюда следует, что можно геометрически точно построить равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади серпа. А так как равнобедренный прямоугольный треугольник легко превращается в равновеликий квадрат (рис. 147)» то и серп наш возможно чисто геометрическим построением заменить равновеликим квадратом.
Остается только превратить этот квадрат в равновеликую фигуру Красного Креста (составленную, как известно, из 5 примкнутых друг к другу равных квадратов). Существует несколько способов выполнения такого построения; два из них показаны на рис. 148 и 149.
Оба построения начинают с того, что соединяют вершины квадрата с серединами противоположных сторон. Важное замечание: превратить в равновеликий крест можно только такую фигуру серпа, которая составлена из двух дуг окружностей: наружного полукруга и внутренней четверти окружности соответственно большего радиуса[39].
Рис. 149. Другой способ превращения квадрата в крест
Рис. 150
Итак, вот ход построения креста, равновеликого серпу. Концы А и В серпа (рис. 150) соединяют прямой: в середине О этой прямой восставляют перпендикуляр и откладывают ОС=ОА. Равнобедренный треугольник ОАС дополняют до квадрата ОАDС, который превращают в крест одним из способов, указанных на рис. 148 и 149.
117. Приводим окончание прерванного рассказа Бенедиктова:
«Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, причем вторая и третья обращались к уму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:
- Будем, сестры, продавать наши яйца не десятками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц - семерик; на каждый семерик и цену положим одну, которой все и будем крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки! За первый семерик алтын1, согласны?
- Дешевенько, - сказала вторая.
- Ну, - возразила старшая, - зато мы поднимем цену на те яйца, которые за продажею круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цены некому; на оставшееся же добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.
- А почем будем продавать остальные? - спросила младшая.
- По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно, дадут.
- Дорогонько, - заметила опять средняя.
- Что ж, - подхватила старшая, - зато первые-то яйца по семерикам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.
Согласились.
Пришли на рынок. Каждая из сестер села на своем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Семерым она продавала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо осталось у ней в корзине. Вторая, имевшая три десятка, продала 4 покупательницам по семерику, и в корзине у ней осталось два яйца: выручила она 4 алтына. У старшей купили семерик, за который она получила один алтын; 3 яйца остались.
Вдруг явилась кухарка, посланная барыней на рынок с тем, чтобы купить непременно десяток яиц во что бы то ни стало. На короткое время к барыне в гости приехали сыновья ее, которые очень любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется, яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на рынок, осталось только 6 яиц: у одной - одно яйцо, у другой - 2, у третьей - 3. Давайте сюда!
