Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Однако прежде чем подняться в облака, давайте разберемся с вопросом, который часто возникает у прагматиков. Есть ли какая-либо польза от теории чисел? Есть. Теория чисел представляет собой основу алгоритмов[144], ежедневно используемых, чтобы обеспечить безопасность проведения транзакций в интернете, а также для шифрования секретных переговоров, имеющих стратегическое значение. Эти алгоритмы построены на сложности разложения очень больших чисел на простые множители.
Но это не единственная причина, по которой математики так одержимы простыми числами. Истинная причина кроется в их фундаментальности. Простые числа — атомы арифметики. Согласно греческому происхождению слова «атом», простые числа являются «атомными», то есть «неделимыми». И подобно тому как все сложено из атомов, каждое число слагается из простых чисел. Например, 60 равно 2 × 2 × 3 × 5. Мы говорим, что 60 — это составное число, и его можно представить в виде произведения простых множителей 2 (дважды), 3 и 5.
А как быть с 1? Это простое число? Нет. И когда мы поймем это, то узнаем, почему 1 — самое одинокое число, даже более одинокое, чем любое простое число.
Оно не заслуживает того, чтобы принимать его во внимание. Учитывая то, что число 1 делится только на 1 и на само себя, его действительно можно считать простым числом, как это и было на протяжении многих лет. Однако современные математики решили удалить его из простых чисел исключительно ради удобства. Если бы число 1 принималось во внимание, оно нарушило бы ход доказательства теоремы, а ее хотелось бы считать верной. Другими словами, мы изменили определение простых чисел, чтобы получить желаемую теорему, согласно которой любое число можно разложить на множители из простых чисел единственным способом. Однако если рассматривать число 1 как простое, разложение на множители не будет единственным. Например, 6 равно 2 × 3, но оно также равно 1 × 2 × 3, 1 × 1 × 2 × 3 и так далее, и нам пришлось бы согласиться, что все эти варианты правомочны. Конечно, это глупо, но мы были бы обречены на такие муки, если бы включили число 1 в состав простых чисел.
Эта маленькая грязная история весьма поучительна и приоткрывает завесу тайны над тем, как иногда делается математика. Наивно полагать, что мы создаем нерушимые определения, а затем выводим из них любые теоремы. Все не так просто. В данном случае при желании мы можем изменить формулировку, тем более что незначительная коррекция позволяет получить более чистую теорему.
Теперь, когда мы отбросили число 1, давайте посмотрим на другие, полноценные простые числа. Главное, что мы о них знаем, — они непостижимы и непроницаемы. Еще никто никогда не находил для них точной формулы. В отличие от настоящих атомов, они не следуют никакой простой модели и совсем не похожи на периодическую таблицу элементов.
Предупреждающие знаки сразу же можно увидеть уже в первых десяти простых числах: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Первое, что бросается в глаза, — их ряд начинается с нехорошего числа 2. Это число-чудак — самый большой неудачник. Оно единственное из простых чисел имеет несчастье быть четным. Неудивительно, что «это самое одинокое число после числа один» (как поется в песне).
Кроме 2, все остальные простые числа нечетные — но все же странные. Посмотрите, какие между ними расстояния: иногда два интервала (как между числами 5 и 7), иногда четыре (13 и 17), а порой шесть (23 и 29).
Чтобы еще сильнее убедиться, насколько беспорядочно расположены простые числа, сравните их с их добропорядочными братьями — нечетными числами 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… Интервалы между нечетными числами всегда одинаковы: два интервала, равномерные, как барабанная дробь. Таким образом, они подчиняются простой формуле: n-е нечетное число равно 2n — 1. Простые числа, наоборот, маршируют под собственный барабан в ритме, который, кроме них, больше никто не слышит.
Учитывая нерегулярность интервалов между простыми числами, некоторые теоретики решили рассматривать их статистически, как членов некоей совокупности, вместо того чтобы искать их отличительные особенности. В частности, давайте посмотрим, как они распределяются среди обычных целых чисел. Сколько существует простых чисел, которые меньше либо равны 10? Или 100? Или произвольному числу N? Эта конструкция — прямой аналог статистического понятия функции распределения.
Представьте, что вы считаете простые числа, прогуливаясь между ними, подобно переписчику во время переписи населения. Изобразите их на оси x. Вы начинаете с числа 1 и идете вправо, подсчитывая простые числа, попадающиеся на пути. Ваш текущий результат будет выглядеть примерно так:
Значения на оси y показывают, сколько простых чисел вы насчитали, пока дошли до данного местоположения x. Для всех x меньше 2 значением на оси y будет 0, поскольку еще не попадались простые числа. Первое простое число появляется на отметке x = 2. И в этом месте график подскакивает вверх. (Попалось!) Затем он остается плоским до отметки x = 3, после чего делает скачок еще на один шаг. Такие чередования прыжков и горизонтальных отрезков образуют странную лестницу неправильной формы. Математики называют ее считающей функцией простых чисел.
Сравните эту картину с аналогичной картиной для нечетных чисел.
Здесь лестница идеально правильная, следуя линии с наклоном ½ — потому что интервал между соседними нечетными числами всегда равен 2.
Есть ли хоть какая-нибудь надежда найти что-нибудь подобное для простых чисел, несмотря на их блуждающий характер? Как это ни удивительно, есть. Ключ к разгадке в том, чтобы сосредоточиться на общей форме линии, а не на отдельных ступенях лестницы. Если мы уменьшим масштаб, из всей этой кажущейся неразберихи начнет вырисовываться кривая. Посмотрите на график функции нахождения всех простых чисел до 100.
Теперь мы меньше отвлекаемся на отдельные ступеньки. Кривая выглядит еще ровнее, если сосчитать все простые числа до миллиарда.
В противоположность первому впечатлению эта кривая не является прямой линией. По мере роста она слегка изгибается книзу. Такой изгиб означает, что простые числа становятся более редкими, изолированными и одинокими. Это то, что Джордано имел в виду, говоря про «одиночество простых чисел».
Такая разреженность кажется еще очевиднее, если посмотреть на данные «переписи» под другим углом. Помните, мы насчитали десять простых чисел среди первых тридцати целых чисел? Таким образом, там, где числовая прямая берет свое начало, примерно одно из трех чисел является целым, что составляет стабильные 33 %. Однако среди первой сотни чисел простых только двадцать пять. Их ряды сократились до одного из четырех, составляя уже 25 %, что вызывает беспокойство. А среди первого миллиарда чисел простых всего лишь 5 %.
И это суровый вестник наклоняющейся кривой. Простые числа похожи на вымирающее поколение. Они никогда не исчезают полностью — со времен Евклида известно, что они никогда не заканчиваются, но почти целиком растворяются в обычных целых числах.
Найдя функции, которые приблизительно соответствуют этой наклоняющейся кривой, теоретики чисел измерили, насколько одиноки простые числа, и выразили в виде формулы типичное расстояние между ними. Если N — большое число, то средний интервал между простыми числами, ближайшими к N, приблизительно равен lnN, то есть натуральному логарифму от N. (Натуральный логарифм ведет себя так же, как и обычный десятичный логарифм, изучаемый в средней школе, но в его основе лежит число e, а не 10. Он является натуральным в том смысле, что повсюду встречается в высшей математике, входя в окружение числа e. Подробнее о повсеместном использовании числа e читайте в главе 19.)
Хотя формула lnN для вычисления среднего промежутка между простыми числами не слишком хорошо работает для малых N, ее эффективность улучшается при приближении N к бесконечности, где ошибка формулы в процентном соотношении приближается к нулю. Чтобы получить представление об этих числах, допустим, что N = 1000. Выясняется, что существует 168 простых чисел меньше 1000 и что средний промежуток между ними в этой части числовой прямой составляет 1000/68, или примерно 5,9. Для сравнения, согласно формуле средний интервал должен равняться ln(1000) ≈ 6,9, что превышает реальное значение примерно на 17 %. Но если мы пойдем дальше, скажем, для N = 1 000 000 000, то реальный и вычисленный по формуле интервалы составят 19,7 и 20,7 соответственно, и разность между ними будет примерно 5 %.
Формула lnN, где N стремится к бесконечности, сегодня известна как теорема простых чисел[145]. Она впервые была записана (но не опубликована) Карлом Гауссом[146] в 1792 году, когда ему было всего пятнадцать лет. (Видите, на что способен ребенок, лишенный развлечений в виде игровой приставки?)
