Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики
* * *
Английский физик и разработчик Стивен Вольфрам (1959) посвятил значительную часть своей жизни изучению клеточных автоматов. Полученные им заключения показывают, что простые правила лежат в основе достаточной высокой сложности результата. Вольфрам сегодня работает над выведением физических законов с помощью клеточных автоматов: ему уже удалось получить модели, совместимые с релятивизмом и квантовой механикой.
Одно из самых важных достижений Вольфрама заключается в том, что его клеточный автомат, называемый правило 110, является тъюринг-полным. Система называется тьюринг-полной, если она способна выполнять любую операцию, подвластную машине Тьюринга, которую можно считать примером идеального компьютера с бесконечными вычислительными возможностями и памятью. Машина Тьюринга может использоваться для вычисления любой математической функции.
Итак, один из клеточных автоматов Вольфрама способен вычислить результат любой математической функции, если задать ему подходящие начальные условия. Клеточный автомат 110 гораздо проще, чем игра «Жизнь» Конвея. В нем имеется только одна линия расчетов, размещенная рядом с другой. Правила трансформации определяются значением этой ячейки и двух соседних. Если обозначить «живое» состояние через 1 и «мертвое» — через 0, правило 110 можно свести к следующей записи:
111 —> 0
110 —> 1
101 —> 1
100 —> 0
011 —> 1
010 —> 1
001 —> 1
000 —> 0
Ниже показан пример развития правила 110 при произвольных начальных условиях.
Правило 110. Для создания рисунка начинают с произвольной последовательности белых и черных квадратов в нижней части. Затем для создания следующей линии над предыдущей используется правило 110. Процесс продолжается до формирования завершенного рисунка.
Вольфрам использовал свои клеточные автоматы для описания самых разных систем, например пигментации шкуры животных. Некоторые морские раковины в своем поведении демонстрируют огромное сходство с клеточными автоматами.
По мнению Вольфрама, это происходит благодаря тому, что алгоритмы роста живых существ — это также наборы простых правил, которые лежат в основе сложных моделей.
Клеточные автоматы были использованы для изучения поведения газа вне состояния равновесия. С помощью метода, названного автоматом решеточного газа (lattice gas automaton), ячейки используются для представления частиц с разными скоростями. Изменение системы происходит на основе простых правил, как и в игре «Жизнь», эти правила определяют, как скорость каждой ячейки меняется со временем. В 90-е годы прошлого века метод дал хорошие результаты и вдохновил ученых на разработку решеточного метода Больцмана, основанного на похожих принципах.
Как видите, вновь развитие математики приводит к прогрессу и других областей науки.
Жизнь как самоорганизующаяся система
Клеточные автоматы, такие как игра «Жизнь», доказывают, что большая сложность может опираться на очень простой базис, и даже заставляют думать, что жизнь могла возникнуть спонтанно посреди неодушевленной материи.
Все популярнее становится версия, что жизнь зародилась как автокаталитическая система. Катализатор — это вещество, которое используется для ускорения или облегчения протекания химической реакции: например, диоксид марганца используется для разложения перекиси водорода на воду и кислород, а без него эту реакцию осуществить намного сложнее.
Следовательно, автокаталитическая система — это группа молекул, которые катализируют производство самих себя и которые способны превращаться друг в друга. Автокаталитические системы характеризуются регулярным поведением, которое довольно сложно объяснить прямым действием законов Больцмана.
Возьмем, например, химические часы. Сегодня известно несколько пригодных для этого реакций, и все они имеют нечто общее: в часах используется раствор нескольких веществ, два из которых могут превращаться друг в друга с помощью третьего компонента. При реакции Белоусова — Жаботинского превращение веществ сопровождается окрашиванием раствора в разные цвета, так что реакцию можно наблюдать невооруженным глазом.
При определенных концентрациях раствора происходит удивительное явление: одно из веществ реагирует с катализаторами, превращаясь в другое вещество и изменяя цвет раствора; через некоторое время полученное вещество также вступает в реакцию, превращаясь в первое и еще раз изменяя цвет, при этом циклы имеют одинаковую длительность. Так и появились часы с химическими компонентами, или химические часы.
Другое свойство автокаталитических систем состоит в их способности к самовоспроизведению. Конечно, это касается не каждой отдельной молекулы, а именно их совокупности. Этим же признаком обладают и все живые существа: ни одна молекула в их телах не способна к самовоспроизведению сама по себе, но различного рода совместная работа позволяет в итоге восстановить целостность системы.
Американский биолог Стюарт Алан Кауффман (1939), изучавший автокаталитические системы, выяснил, что их свойства связаны с эволюцией. На основе чисто математического подхода, не учитывая химических свойств системы, он обнаружил, что системы можно разделить на части, которые взаимодействуют между собой и могут эволюционировать, создавая между частями все более сложные отношения с растущим количеством элементов. Ученый ничего не говорит о природе этих частей, и его анализ применим не только к химическим веществам, но и к любому набору систем, взаимодействующих подобным образом. Так, Кауффман утверждает, что примером автокаталитической системы является бактериальная флора нашего кишечника.
Видение жизни как самоорганизующейся системы совпадает с идеей о том, что живые существа являются диссипативными системами. Живое существо — это структура, которая поддерживает свою энтропию постоянной, создавая энтропию вокруг себя, что означает, что такое существо должно потреблять энергию и как можно эффективнее рассеивать ее. Живые существа представляют собой систему в метастабильном состоянии: несмотря на то что они находятся вне равновесия, они способны поддерживать это состояние, пока система не сталкивается со слишком большими нарушениями, и в этом случае живое существо переходит в состояние стабильного равновесия, то есть смерти. Исследования Кауффмана подчеркнули возрастающую сложность автокаталитических процессов, которую можно объяснить тем фактом, что диссипативные системы стремятся к внутреннему упорядочению, выводя хаос за пределы системы.
Самоорганизующиеся системы могут включать как живые существа, так и инертные части. Пример этого — поведение колонии муравьев или термитов. Как объясняет Пригожин в своей книге «Порядок из хаоса», термиты при строительстве термитника ведут себя так же, как молекулы в химической диссипативной системе.
Он пишет:
«Первая стадия строительной активности (закладка основания), как показал Грассе, является результатом внешне беспорядочного поведения термитов. На этой стадии они приносят и беспорядочно разбрасывают комочки земли, но каждый комочек пропитывают гормоном, привлекающим других термитов.
[…] Начальной «флуктуацией» является несколько большая концентрация комочков земли, которая рано или поздно возникнет в какой-то точке области обитания термитов. Возросшая плотность термитов в окрестности этой точки, привлеченных несколько большей концентрацией гормона, приводит к нарастанию флуктуации. Поскольку число термитов в окрестности точки увеличивается, постольку вероятность сбрасывания ими комочков земли в этой окрестности возрастает, что, в свою очередь, приводит к увеличению концентрации гормона-аттрактанта. Так воздвигаются «опоры».
Как видно, описание соответствует развитию динамической системы, которая переходит от гомогенного состояния в негомогенное, в котором исходные нестабильности приобретают все большее значение и в конце концов полностью определяют развитие системы. Имеется и другой случай спонтанного нарушения симметрии: начальная территория одинакова везде, но в результате деятельности термитов случайно выбираются те ее части, которые скрывают начальную симметрию состояния.
Другой пример самоорганизующейся системы представляют собой коллективные амебы, одноклеточные животные, образующие сложные структуры при недостатке пищи. Амебы ведут себя как автономные существа, пока им хватает пищи, но как только наблюдается ее недостаток, одна из амеб начинает выделять определенное вещество, запускающее цепную реакцию: остальные амебы движутся к ней, образуя конгломерат, который начинает развиваться. Пригожин пишет:
