Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Наиболее плотное расположение кругов на плоскости.
- 122 -
Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники - основания трех нижних тетраэдров; кружки - вершины этих тетраэдров (А, В.С); звездочка - положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC.
Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется менаду двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по...
- Второму способу! - закончил Илюша. - Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: "со всех четырех сторон", а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху - одно, в следующем слое - столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем - столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше - десять. Как же считать?
Четыре тетраэдра (вид сбоку).
- Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.
- В первом и втором слоях вместе: один да три - четыре.
- Квадрат двух, - подсказал Радикс. - А во втором и третьем?
- 123 -
Первый способ наиплотнейшего расположения шаров. Шары верхнего слон (кружки) закрывают шары нижнего слоя (крестики). опять квадрат. А шесть и десять-шестнадцать, опять квадрат.
- Три и шесть - девять, опять квадрат. А шесть и десять - шестнадцать, опять квадрат.
Как интересно! Значит, очень просто эти слои считать: вычти число последнего слоя из следующего квадрата и получишь то, что надо. Следующий квадрат будет двадцать пять. Вычитаю десять, и выходит пятнадцать. Так?
- Твое наблюдение правильно. Это треугольные числа.
- Как интересно! - воскликнул Илюша. - И для всякого числа есть свое название! А выходит, что шесть - это очень знатное число: оно и совершенное и треугольное! Теперь: сколько же всего ядер выходит в куче?
Один слой - одно. Два слоя - четыре. Три слоя - десять. Четыре слоя - двадцать. Пять слоев - тридцать пять.
Строение селитры по М.В. Ломоносову (1763 г.)
- А это пирамидальные числа.
- Ну да, потому что выходит пирамида из ядер.
- 124 -
- Конечно, - сказал Радикс. - Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных атомов или молекул в кристаллах. Они там тоже так уложены. Представь себе, что математики пришли к этой мысли раньше, чем физики! И все эти числа получить очень просто. Возьми-ка мел и пиши. В первом столбике напиши одну под другой пять единиц; во втором - те числа, которые ты видишь в пирамиде ядер сбоку; в третьем столбике - треугольные числа, а в четвертом - пирамидальные.
Илюша взял мел и написал то, что изображено справа.
- Смотри, какая у тебя получилась табличка. Каждое число в любой строке равно сумме того числа, которое стоит над ним, и того, которое стоит слева от него. Видишь?
- Верно, - отвечал Илюша. - Например, десять равно шести плюс четыре!
- А теперь, - продолжал его друг, - ты видишь, что эту табличку очень легко продолжить по этому правилу.
Добавь-ка еще четыре единички в первой строке и три в первом столбце и заполни таблицу. И в каждой строке пиши одним числом меньше, чем в верхней. Ну-ка, пиши поскорей!
Илюша написал единицы, и у него получилась табличка, изображенная слева.
- Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, - сказал Радикс, - потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.
- Это тот самый, про которого ты вспоминал, когда Великий Змий пришел пробирать нас? - спросил Илюша.
- 125 -
- Он самый, - торжественно произнес Радикс. - Эту табличку до Паскаля, веком раньше, построили итальянские математики. Но в то время известия о новых открытиях распространялись не так быстро, как теперь. Мало того, что этот треугольник дает натуральные числа, треугольные, пирамидальние и многие другие, которые в общем называются фигурными числами, он дает еще более полезные и важные указания. Вот я его сейчас перепишу по-другому.
Радикс взял мел и написал то, что изображено слева.
- Посмотри, - сказал он. - Тебе эти цифры ничего не напоминают?
Илюша внимательно посмотрел новую табличку, подумал, потом сказал:
- Один, два, один - это похоже на сто двадцать один, то есть на квадрат одиннадцати.
Потом Илюша взял мел и начал что-то старательно множить.
- Четвертая строка, - сказал он, - это будет куб одиннадцати, а пятая - четвертая степень одиннадцати.
- Правильно, - отвечал Радикс. - Ну, а кроме этого, ты ничего не замечаешь?
- Нет, - сказал Илюша, подумав, - больше, кажется, ничего.
- А помнишь ты формулу квадрата и куба суммы?
- Конечно!
- А как там идут коэффициенты?
Илюша помолчал, посмотрел на Радикса, потом на табличку и затем написал:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2.
(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Внимательно посмотрев на эти хорошо знакомые формулы, а затем снова на табличку Радикса, Илюша сказал:
- А ведь верно! Если взять квадрат суммы, то при а2 коэффициент единица, при ab-двойка, а при b2-снова единица, то есть коэффициенты идут, как в третьей строке: 1-2-1.
И в кубе суммы тоже идут, как в четвертой строке: 1-3-3-1.
Илюша умножил куб суммы на первую степень суммы и, довольный, сказал:
- Ну это просто замечательно! И в четвертой степени у нас получается:
и, значит, коэффициенты идут опять, как здесь, в последней строчке: 1-4-6-4-1.
- 126 -
- Ну, так вот, - продолжал, улыбаясь, Радикс, - значит, с помощью этого треугольника, если ты его продолжишь (а как ты видел, это очень просто), ты можешь написать сумму в любой степени. Ты должен только запомнить еще одно нехитрое правило: степени первого слагаемого уменьшаются от той степени, в которую ты возводишь сумму, до нулевой, а степени второго слагаемого идут как раз в обратном порядке- от пулевой до старшей.
- Действительно так, - сказал Илюша, посмотрев на четвертую степень суммы.
- И это еще не все, - сказал Радикс. - Ты еще немало узнаешь в дальнейшем про эти числа. Они многое могут делать. Узнаешь также, что у Арамиса были весьма серьезные основания интересоваться этим треугольником (AJI-I, XII).
- Вот почему он и сказал про двести семьдесят шесть ядер?
- Двести семьдесят шесть и двести пятьдесят три - это два пирамидальных числа. Но тут есть вещи и посерьезнее.
Дело в том, что этот треугольник учит храбрых пушкарей не только складывать ядра в кучи: он учит их еще и стрелять из пушек! А самое главное, он учит их попадать этими ядрами как раз туда, куда следует, чтоб отвадить непрошеных гостей, которые падки на чужое добро!
- 127 -
Схолия Восьмая,
из которой любезный читатель узнает о том, как некий скромный знак препинания отправляется прогуляться по бережку весьма живописной речки, но никто из присутствующих никак не может понять, по какому берегу он идет - по этому или по противоположному. Наши друзья пытаются разрешить это небывалое затруднение при помощи карманных часов, но из этого ничего не выходит, потому что эти часы ведут себя не только весьма двулично, но, сверх того, еще находятся в самой тесной дружбе с одним несговорчивым зверьком, по имени спрут. Однако доблестный Илья Алексеевич, не теряя присутствия духа, бросается на своего страшного врага с ножницами и после пятикратного боя выходит из этой борьбы победителем. Естественно, что ему дается награда за этот знаменитый подвиг, благодаря чему он и получает возможность потрогать собственными руками ту самую таинственную бутылку, в которой сидел ужасный джинн из арабской сказки, причем талисман, которым был на тысячи лет запечатан в этой бутылке джинн, оказывается троюродным внуком одного нашего хорошего знакомого.
- Вот что, - сказал Радикс, забираясь в кресло, - ты ведь еще спрашивал насчет двери в домик Розамунды. Понравилась? А ведь признайся: в качестве двери в волшебное царство - устройство самое подходящее! А между тем эту дверь очень легко сделать.
- 128 -
Он протянул Илюше ровную четырехугольную полоску бумаги. На четырех углах ее стояли буквы А, В, С, D.
- Ну-ка, сверни ее кольцом.
Илюша свернул.
- А теперь поверни один конец на сто восемьдесят градусов, то есть обратной стороной, так, чтобы буква С пришлась против А и В - против D. Нажми хорошенько, и концы склеятся.
