Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир
Векторы, как и числа, можно складывать и вычитать, но наличие направленности делает их более сложными. Тем не менее сложение векторов становится более понятным, если вы представите его в виде инструкции по танцам. Например, что получится, если сначала вы делаете один шаг на восток, а следующий на север? Естественно, вектор, который указывает на северо-восток.
Примечательно, что скорость и сила ведут себя так же: они складываются, как и танцевальные шаги. Это должно быть знакомо любому теннисисту, который когда-либо пытался подражать Питу Сампрасу и бил по мячу справа снизу от линии, когда бежал на полной скорости к боковой линии. Если направить мяч без учета своего движения, то удар будет неточным. Скорость мяча по отношению к корту — это сумма двух векторов: скорости мяча относительно вас (вектор, направленный снизу от линии, как и предполагалось) и вашей скорости относительно корта (вектор, направленный в ту сторону, куда вы бежите). Чтобы отбить мяч в нужном направлении, необходимо целиться в противоположную половину поля противника, чтобы компенсировать боковое движение.
За пределами векторной алгебры лежит векторное исчисление: раздел математики, который использовал господин Дикурцио. Вы помните, что любое исчисление — это математика перемен. Поэтому векторное исчисление должно включать в себя изменение векторов во времени и пространстве. В последнем случае говорят о «векторном поле».
Классический пример векторного поля — силовое поле вокруг магнита. Для его демонстрации положите магнит на лист бумаги и начните сыпать на него железные стружки. Каждая стружка ведет себя как маленькая стрелка компаса, и ее направление совпадет с направлением локального «севера», определяемого магнитным полем в этой точке. Совокупность стружек создает захватывающую картину силовых линий магнитного поля, которые пролегают от одного полюса магнита к другому.
Направления и величины векторов в магнитном поле меняются от точки к точке. Как и во всех исчислениях, ключевым инструментом для количественного расчета таких изменений является производная. В векторном исчислении оператор производной называется «дельта» — от греческой буквы ∆ (дельта), обычно используемой для обозначения изменений в отдельных переменных. Как напоминание о родственных связях, в векторном исчислении также применяется перевернутый треугольник ∇. (Это тот самый таинственный перевернутый треугольник учителя Дикурцио, который он несколько раз нарисовал на салфетке и который называется «набла».)
Оказывается, существует два различных, но одинаково естественных способа взять производную у векторного поля, применяя к нему «наблу». Первый называется дивергенцией поля. Чтобы интуитивно почувствовать, как она измеряется, взгляните на векторное поле, показывающее, как вода потечет из источника слева в раковину справа.
Для этого примера, чтобы отслеживать векторное поле, вместо железных стружек возьмем множество мелких корок или фрагменты плывущих по поверхности воды листьев. Мы собираемся использовать их в качестве зондов. Их движение будет показывать, как вода течет в каждой точке. Представьте, что произойдет, если выложить небольшой кружок из корок вокруг источника. Очевидно, что корки начнут раздвигаться и круг станет расширяться, так как вода вытекает из источника. Источник здесь расходится. И чем сильнее расхождение, тем быстрее увеличивается область нашего коркового круга. Вот почему дивергенция векторного поля определяет, насколько быстро растет площадь небольшого круга из корок.
На рисунке ниже оттенками серого изображены численные значения дивергенции в каждой точке поля. Светлые оттенки показывают точки, где поток имеет положительную дивергенцию, а темные — места отрицательной дивергенция там, где поток сжимает кольцо корок в окружности с центром слива воды.
Другой способ измерения производной — ротор векторного поля. Грубо говоря, ротор показывает, насколько сильно поле крутится вокруг данной точки. (Вспомните карты погоды, демонстрирующие вращающуюся розу ветров вокруг ураганов и тропических штормов, которые вы видели в новостях.) В векторном поле на рисунке области, выглядящие как ураганы, имеют большой ротор.
Украсив векторное поле оттенками серого, можно показать, где ротор имеет наибольшие положительные (светлая область) и наибольшие отрицательные (темная область) значения. Обратите внимание, что положительность или отрицательность ротора говорит также о том, в каком направлении вращается поток (против или по часовой стрелке).
Ротор чрезвычайно информативен для ученых, имеющих дело с механикой жидкостей и аэродинамикой. Несколько лет назад моя коллега Джейн Ван с помощью компьютера смоделировала структуру воздушного потока вокруг стрекозы в момент, когда та зависает на одном месте80. Вычисляя ротор, Джейн обнаружила, что, когда стрекоза машет крыльями, это формирует пару противоположно вращающихся вихрей (роторов), действующих как маленькие торнадо под ее крылышками и создающих достаточную подъемную силу, чтобы удерживать насекомое в воздухе. Таким образом, векторное исчисление помогает объяснить, как летают стрекозы, шмели и колибри, что долгое время было загадкой для традиционной аэродинамики неподвижного крыла самолета.
Теперь, когда вы получили представление о дивергенции и роторе, давайте вернемся к уравнениям Максвелла. Они выражают четыре фундаментальных закона: первый — для дивергенции электрического поля, второй — для его ротора, а третий и четвертый такого же типа — для магнитного поля. Уравнения дивергенции связывают электрические и магнитные поля с источниками их возникновения, заряженными частицами и токами, которые создают их изначально. Уравнения ротора описывают, как электрические и магнитные поля взаимодействуют и изменяются с течением времени. При этом уравнения обладают красивой симметрией: они связывают скорость изменения во времени одного поля со скоростью изменения в пространстве другого поля, что количественно выражается его ротором.
Максвелл использовал математические приемы, эквивалентные векторному исчислению, которое в его время еще не было известно, и вывел логические следствия из этих четырех уравнений. Перетасовка символов привела его к выводу, что электрические и магнитные поля могут распространяться в виде волн, похожих на рябь в пруду. За исключением электрических и магнитных полей, больше походивших на симбиотические организмы. Они поддерживали друг друга. Волновое движение электрического поля воссоздавало магнитное поле, которое, в свою очередь, воссоздавало электрическое поле, и так далее; каждое тянуло другое вперед, причем ни одно из них не могло сделать это самостоятельно.
Это был первый прорыв — теоретическое предсказание электромагнитных волн. Но действительно потрясающее открытие ждало Максвелла впереди. Когда он вычислил скорости этих гипотетических волн с использованием известных свойств электричества и магнетизма, из его уравнений стало ясно, что поля передвигаются со скоростью около 193 тысячи миль в секунду — такое же значение для скорости света вывел французский физик Ипполит Физо за десять лет до этого!
Как я хотел бы стать свидетелем момента81, когда человек впервые понял истинную природу света. Считая свет электромагнитной волной, Максвелл объединил три древних и, казалось бы, не связанных между собой явления: электричество, магнетизм и свет. Хотя такие экспериментаторы, как Фарадей и Ампер, ранее нашли основные части этой головоломки, именно Максвелл, вооруженный своей математикой82, сложил их.
Сегодня мы купаемся в некогда гипотетических волнах Максвелла, имея радио, телевидение, сотовые телефоны и Wi-Fi. Таково наследие его колдовства с символами.
22. Новая нормальность
Статистика внезапно стала сверхмодным направлением. С появлением интернета, электронной торговли, социальных сетей, проекта по расшифровке генома человека, а также в связи с развитием цифровой культуры в целом мир стал захлебываться в данных.83 Маркетологи изучают наши вкусы и привычки. Разведывательные службы собирают информацию о нашем местонахождении, электронной переписке и телефонных звонках. Специалисты по спортивной статистике жонглируют цифрами84, решая, каких игроков покупать, кого набирать в команду, а кого посадить на скамью запасных. Каждый стремится объединить точки в график и обнаружить закономерность в беспорядочном скоплении данных.
Неудивительно, что эти тенденции отражаются и в обучении. «Давайте обратимся к статистике»85, — увещевает в своей колонке газеты New York Times Грег Мэнкью, экономист из Гарвардского университета. «В учебной программе по математике в средней школе слишком много времени уделяется традиционным темам, таким как евклидова геометрия и тригонометрия. Эти полезные для обычного человека умственные упражнения, однако, малоприменимы в повседневной жизни. Учащимся было бы гораздо полезнее больше узнать о теории вероятности и статистике». Дэвид Брукс идет еще дальше86. В своей статье, посвященной дисциплинам, заслуживающим внимания для получения достойного образования, он пишет: «Возьмите статистику. Вот увидите, окажется, что знание того, что такое стандартное отклонение, вам очень пригодится в жизни».
