Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Этот метод мастера называли «метод кира-кира», так как «кира-кира» в переводе с индонезийского означает «примерно». Отрезок делится на части примерно, но не произвольно: мастер отмечает последовательность точек и в конце концов получает желаемый результат. Он считается удовлетворительным, когда величина допущенной ошибки меньше ширины грифеля карандаша, которым наносятся отметки, или визуально неразличима. Это рекурсивный неевклидов алгоритм, который можно использовать на любой плоскости. Именно для таких задач решение методами евклидовой геометрии, которая преподается в европейских и индонезийских школах, оказывается неоптимальным. Мастера тораджи учились у мастеров прошлых поколений, и многие из них не ходили даже в начальную школу. Перед нами — новое решение одной из древнейших задач, новое по меньшей мере для европейской математики, результат этноматематического творчества.
Метод «кира-кира» представляет собой обычное деление, и он намного проще и понятнее, чем может показаться на первый взгляд. Так, можно убедиться, что его, по сути, без каких-либо изменений можно использовать и при делении чисел.
Ведь как мы делим одно число на другое? Мы начинаем с того, что оцениваем, сколько раз делитель укладывается в делимом. Если числа не делятся друг на друга нацело, образуется остаток. Например, когда мы делим 13 на 5, то говорим, что 5 укладывается в 13 два раза, а остаток от деления равен 13 — 2·5 = 13–10 = 3. Что делать дальше? Нужно разделить остаток 3 на тот же делитель, то есть на 5.
Чтобы упростить вычисления, мы умножаем 3 на 10 и делим 30 на 5. Эти числа делятся друг на друга нацело, результатом деления является 6. Однако этот результат затем нужно разделить на 10 и прибавить полученное число, 0,6, к уже известному частному: 2 + 0,6 = 2,6. Так мы получили окончательный результат деления.
Именно так действуют мастера тораджи — разница заключается лишь в том, что они не выполняют расчеты явно и начинают с визуальной оценки. При делении чисел мы можем действовать точно так же. Допустим, нам нужно разделить 2345 на 3. Будем действовать так:
Ошибка, допущенная на третьем шаге (2345/3 = 780), уже достаточно мала и имеет порядок 0,2 % по сравнению с точным результатом, равным 781,666… Но, хотя этот метод эффективен при делении отрезков на практике, он не вполне применим при делении чисел.
Новая проблема
Некоторое время спустя я вновь общался с одним из мастеров. Я с удивлением увидел в его мастерской необычную геометрическую фигуру — пентаграмму. Спросив мастера, как он построил такую фигуру, я узнал, что построить шестиконечную звезду несложно, пятиконечную — намного труднее.
Мастер указывает на неточно проведенную касательную при построении пентаграммы.
Это и в самом деле так. Мастера вписывали пятиконечную звезду в кольцо, радиус которого определялся визуально. Если результат построения отличался от ожидаемого, мастер исправлял ошибку, но не по методу «кира-кира», а на глаз, не следуя какому-то четко определенному методу, который обязательно приводил бы к нужному решению.
Я задумался над тем, как можно помочь мастерам в решении этой задачи. Было очевидно, что она заключалась в построении пяти равноудаленных точек на окружности, которые затем соединялись попарно, образуя пентаграмму. Следовательно, задача сводилась к построению правильного пятиугольника. Решение, предложенное Евклидом, не подходило по двум причинам. Во-первых, мне казалось бессмысленным чертить пятиугольник на стене дома тораджи с помощью громоздкого метода Евклида, который я и сам не помнил во всех подробностях. Во-вторых, не совсем этично привносить подобный метод в другую культуру. И тут… Эврика! Почему бы не попытаться решить задачу с помощью методов, свойственных культуре, в которой возникла эта задача? Иными словами, можно ли применить метод «кира-кира» для построения правильных многоугольников? Ответ на этот вопрос оказался утвердительным, хотя и не совсем таким, как предположил бы европейский математик.
Нам дана окружность, в которую мы хотим вписать правильный пятиугольник.
Применим метод «кира-кира», отложив на бамбуковой рейке пятую часть длины окружности. Затем отложим на окружности полученной меркой пять отрезков: P0P1, Р1Р2…., P4P5. Если конец последнего отрезка совпадает с точкой P0, то есть первая и последняя точки совпадают, замыкая цикл, то отмеченные нами пять точек являются вершинами правильного пятиугольника. Хорды, стягивающие пять дуг окружности, соответствующих этим пяти точкам, являются сторонами искомого пятиугольника. Чтобы построить пентаграмму, достаточно соединить точки нужным образом.
Если цикл не замыкается, то есть если Р5 не совпадает с P0, это означает, что мы допустили ошибку. Сначала я считал, что эту ошибку следует исправить, найдя ее треть с помощью бамбуковой рейки, а затем прибавить ее к исходной длине отрезка (или вычесть из нее). Но это не помогло улучшить результат. Как же решить задачу? Эврика! Я работал с точками на окружности, но по-прежнему использовал отрезки, в то время как мне нужно было исправить ошибку, допущенную при откладывании дуги. Мне нужно было обратить внимание не на рейку, которой я откладывал хорды, а на дугу окружности, соответствующую величине допущенной ошибки.
Спрямленная окружность
Все ясно: требуется рассмотреть окружность как отрезок. Закрепив один конец рейки во второй точке, отмеченной на окружности, я переместил другой конец рейки туда, где, по моему мнению, должен был находиться конец третьей части дуги, соответствующей допущенной ошибке. В результате я получал новую длину хорды.
Ключ к решению заключался в том, что все отметки на бамбуковой рейке соответствовали хордам дуг окружности и… эврика! Результирующая дуга должна представлять собой сумму дуг. Если складывать хорды подобно отрезкам, это условие не выполняется — результирующая дуга не будет равна сумме двух других. Иными словами, сумма хорд будет равна результирующей хорде, только если мы определим сумму хорд как хорду, равную стороне треугольника, построенного на двух исходных хордах:
Мы определили рекурсивный неевклидов алгоритм построения правильных многоугольников, так как описанный нами способ применим при делении окружности на n частей. Кроме того, мы определили новую аддитивную группу, которую назовем «группой хорд окружности». Сумма двух хорд имеет смысл, если определить ее как сторону треугольника, построенного на исходных хордах, — в этом случае результирующая дуга будет равна сумме двух исходных дуг. Метод «кира-кира» оказался достаточно гибким, чтобы его можно было использовать при решении тех задач, для которых он не предназначался.
* * *
ПОСТРОЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ДЕВЯТИУГОЛЬНИКОВ В УЗОРАХ АЛЬГАМБРЫ
Метод «кира-кира» позволяет объяснить трюк, о котором упоминают авторы, описывающие построение правильных девятиугольников, встречающихся в узорах Альгамбры в испанском городе Гранада. Я называю этот метод построения трюком потому, что, как известно благодаря трудам Гаусса, правильный девятиугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки.
Нам доподлинно неизвестно, каким именно методом руководствовались арабские мастера, однако вполне возможно, что он был схож с методом «кира-кира». При использовании этого метода окружность сначала делится на три равные дуги, затем одна из них делится на три части, при этом всякий раз применяется тот же метод, что использовали мастера тораджи. Таким образом мы делим окружность на девять равных дуг, при этом стягивающие их хорды будут сторонами правильного девятиугольника, вписанного в исходную окружность.
* * *
Общение с мастерами тораджиЯ сомневался, стоит ли рассказать мастерам тораджи о том, что метод «кира-кира» можно применить на окружности. До того как встала задача о построении пятиконечной звезды, мастера использовали свой метод для решения любых других задач, но здесь он оказался бессилен. Я боялся, что если расскажу, как можно расширить используемый метод, то тем самым укажу мастерам на то, что их искусство недостаточно высоко. И все же я решил, что после моих объяснений они поймут, что сами сформулировали новую задачу, неподвластную их методу.
* * *
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕОБЫЧНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Какую ошибку мы совершаем, когда используем хорду окружности в качестве приближенного значения длины ее дуги? Пусть а и с — длина дуги окружности и стягивающей ее хорды соответственно, r — радиус исходной окружности, α — центральный угол, определяющий дугу.
