Алексей Лосев - Хаос и структура
Идеи, числа, вещи, взятые как неподвижные, статические, вечные структуры, предстоят как определенным образом связанные между собой, предстоят в некоем конкретном взаимоотношении. Будучи же погружены в стихию становления, они в корне меняют свое взаимоотношение; оно становится неузнаваемым, хотя мы и должны уметь выводить это их алогически–становя–щееся взаимоотношение из их логически–неподвижного взаимоотношения. Вещи, идеи, числа—все, что мыслится и существует, — одним образом взаимосоотносится, когда берется в чистом и непосредственном виде, и совершенно другим способом взаимосоотносится, когда уходит в алогическое становление и растворяется в нем. Итак, это первое и самое главное в производной: производная есть взаимоотношение величин, перешедших в алогическое становление.
Второе, очень важное обстоятельство заключается в том, что производная содержит в своем логическом составе момент предела. Что такое предел, об этом уже говорилось выше. Однако ни на минуту нельзя упускать из виду всего своеобразия этой богатой категории — предела и надо уметь учитывать его в общем логическом составе производной. Схематически эту ситуацию можно представить так.
Аргумент х, погрузившись в становление, меняется, движется — в бесконечность.
Зависящая от него функция у, погрузившись в становление, тоже все время меняется, движется—до бесконечности.
Теперь, отношение между этими двумя, бесконечно становящимися величинами есть тоже величина переменная; оно тоже все время меняется, движется и—тоже до бесконечности. Это очень важно все время учитывать и иметь в виду. Производная все время меняется, движется, становится. Производная тоже пребывает в становлении, она в каждый новый момент взаимоотношения становящегося аргумента и функции—все новая и новая, все иная и иная. Но только это становление производной не какое–то вообще, а вполне определенное, так как ведь и аргумент, и функция есть тоже вполне конкретная определенность и таковыми они и вступают в стихию становления. Но какая же может быть определенность в становящейся величине? Определенность становления аргумента χ продиктована самим аргументом л:; она выражается через х+Ах. Определенность становления функции у опять–таки продиктована определенностью самой функции; эту нарушенную функцию мы найдем в выражении у + Ау. Но от чего зависит определенность становления производной? Она ведь потому–то и называется производной, что она не самостоятельна, а всецело зависит от поведения в инобытии аргумента χ и функции у. Вот предел, к которому стремится , и есть то, что дает производной определенность и указывает на ее определенную закономерность. Отдельные с этой точки зрения еще не есть сама производная, а как бы только подготавливают ее, стремятся к ней. В настоящем смысле производная возникает только тогда, когда все эти отдельные получают особую структуру, как некий ряд, как некая последовательность. Это и совершается тогда, когда ряд этот получает предел. И производная, находя в каждом отдельном свое приближенное выражение, оказывается в точном смысле производной именно тогда, когда она есть предел этого отношения .
С этой точки зрения производную необходимо понимать как закон инобытия идеальной взаимозависимости. Когда дана функция сама по себе, y=ƒ(х), и не ставится никакого вопроса о становлении л: и у, то все действия происходят тут в области чисто идеальной, неподвижно идеальной. Когда χ и у перешли в становление, они вышли за свои собственные границы и перешли из своего бытия в свое инобытие. Какой же закон существования этой идеальной взаимозависимости, когда она перешла в свое инобытие? Ответ: этот закон существования идеальной взаимозависимости в инобытии к себе самой есть производная. По ней мы видим, как ведут себя идеальные вещи в инобытийно–реальном становлении и какова структура и внутренняя связь, царящая в этом инобытийном поведении.
Здесь перед нами еще раз появляется воочию тайна западноевропейского мироощущения, покинувшего идеальную действительность абсолютов и погрузившегося в непроглядную тьму становления и вечных исканий. Когда действительность мыслилась и переживалась в своей абсолютно–объективной, личностно–самостоя–тельной субстанциальности, тогда не было особенных причин уходить в становление, а были все причины пребывать в собранном и целомудренно–уравновешенном состоянии. Когда же все объективное бытие было зачеркнуто и человеческий субъект стал усиливаться в самом себе и притом из самого себя исходить все быстрее, тогда, по невозможности физически обнять бесконечную вселенную, волей–неволей пришлось устремиться в вечное искательство и расслоить спокойное обладание истиной на бесконечное и беспокойное ее достижение. Тогда и возникла непреодолимая потребность, своего рода метафизическая страсть созерцать, наблюдать, изучать и фиксировать не устойчивые структуры природы и духа, но их становящуюся стихию, не числа и вещи в их законченном стройном бытии, но числа и вещи в их бесконечно стремящемся инобытии. И так как нельзя же было настолько погрузиться в становление, чтобы потерять всякую мысль и расстаться с самой способностью расчленять, обобщать и теоретизировать, то и были созданы такие методы мысли, которые бы максимально соответствовали алогически–становящемуся бытию, и такая математика, которая, сохраняя свою точность и четкость форм, говорила бы не о стройном и законченном архитектурном целом, но о вечно рвущемся, вечно бесконечном стремлении. Производная и есть эта точная, четкая, максимально–логическая форма и метод мысли для познания всегда неточного, всегда спутанного и нечетного, максимально алогического становления и изменения. В этом вся ее тайна. И в этом ее совершенно своеобразный культурно–исторический строй; и, можно сказать, в этом — метафизическая страсть, владевшая и владеющая всеми, кто мыслит и действует инфините–зимально, кто мыслит и действует как вечно стремящийся и никогда ненасытный Фауст.
8. Дифференциал и интеграл. Вся рассмотренная нами до сих пор картина осуществлялась между величинами χ и у. Мы отметили три особых момента: Δу, Ах и у связывая их одним отношением[229].
=y'
Что такое χ и dx, этого мы сейчас можем и не разъяснять, так как χ это есть просто независимое переменное, a dx—то его приращение, в силу которого оно вступает в процесс становления. Так как здесь идет речь о независимых величинах, о произвольных величинах, то, очевидно, весь наш интерес должен относиться к тому, что от них зависимо, и к самой форме этой зависимости. Общее понятие нам также известно. Но уже это dy может получить более точное определение из соответствующего видоизменения вышеданной формулы производной. А именно, из нее вытекает, что
dy=y'dx.
Иначе говоря, оказывается, что о dy можно судить на основании у' и dx, т. е. приращение функции зависит от производной и от приращения аргумента. Здесь, однако, необходимо соблюдать более точный способ рассуждения и выражения, и мы получаем понятие дифференциала.
Прежде всего dx, приращение независимого переменного, стремящееся к нулю, в отличие от Ах, от приращения, вообще называется дифференциалом независимого переменного. Дифференциал аргумента есть, следовательно, бесконечно–малое его приращение. Соответственно необходимо проводить различие и между приращениями функции. Когда растет аргумент, соответственно растет и функция; и в общем случае, когда не становится вопрос о характере этих приращений, приращение функции мы обозначаем через Δy. Однако нас интересует именно бесконечно–малое наращение аргумента. Тогда соответственно получит специфическую окраску и приращение функции. Вот это–то приращение функции в условиях бесконечно–малого нарастающего аргумента и называется дифференциалом функции; и оно есть произведение производной на бесконечно–малое приращение аргумента (т. е. y'dx).
Но и в этом определении еще не выявляется с полной отчетливостью и выпуклостью смысловая структура дифференциала. Это определение есть ведь не что иное, как перефразировка логических моментов, входящих в понятие производной. Чтобы выявить наружу этот скрытый принцип дифференциала, представим себе процессы, дающие производную, более подробно.
Если разница
стремится к нулю и есть величина бесконечно–малая, то, обозначая ее через ε, получаем
Левая часть этого равенства есть общее приращение функции Ау. В правой же части f'(x)dx есть, по предыдущему, дифференциал функции, dy. Стало быть, это равенство можно переписать так:
∆y = dy + edx,
т. е. общее приращение функции отличается от дифференциала функции на величину edx. Если отдать себе строгий отчет в этой величине, то станет ясным и все отличие приращения функции от дифференциала функции. Что такое zdxl dx есть бесконечно–малое приращение аргумента, равно как и ε—тоже бесконечно–малое. Умножение одного на другое дает, очевидно, бесконечно–малую величину высшего порядка, чем просто dx. Бесконечно–малое высшего порядка есть то, которое имеет высшую малость, т. е. такое, которое мельче другого бесконечно–малого, zdx мельче, чем просто dx. Но так как dy—f'(x)dx есть бесконечно–малое первого порядка (поскольку f'(x) есть какое–нибудь число, не равное нулю), то edx мельче, чем f'(x)dx, и, следовательно, обсуждая ∆у, этой величиной можно пренебречь. Поэтому практически вместо ∆у достаточно оперировать с dy, т. е. общее приращение функции можно заменять ее дифференциалом, хотя это и разные вещи.
