Алексей Лосев - Хаос и структура
Итак, изменяется аргумент, изменяется в зависимости от него и функция. Употребляя традиционные обозначения математического анализа, мы получим следующее. Если x —аргумент, ∆х будет приращением аргумента x. В зависимости от этого функция у тоже будет нарастать; обозначим приращение функции через ∆у. Чтобы узнать, какой вид примет наращение функции, возьмем приращенную функцию ƒ(x+∆x) и вычтем из нее первоначальную функцию y=ƒ(x). Получаем: ƒ(x+∆x) — ƒ(x). Это есть то наращение, которое происходит в функции, когда получается наращение аргумента ∆х Следовательно, если
y=ƒ(x)
ТО
∆y=ƒ(x+∆x) — ƒ(x)
и, беря отношение обеих частей этого равенства к Δχ, мы получаем
Это и есть математческое выражение того нового отношения, в которое вступают χ и у, когда они берутся не сами по себе, не статически, но когда они погружаются в процесс становления, т. е. начинают нарастать или убывать. Это рассуждение (и обозначение) обычно еще не вполне достаточно, и требуется его существенно дополнить в одном пункте.
Именно, нас ведь интересуют не приращения вообще, но бесконечно–малые приращения и не процесс вообще, но именно алогическое становление. Мы раньше уже видели, что в понятии бесконечно–малого дано не просто изменение величины, но изменение самого изменения, становление изменения, почему оно не просто налично тут как таковое, но оно дает все меньшие и меньшие результаты, оно все меньше и меньше оказывается изменением. Сама категория изменения тут, очевидно, вовлечена в становление.
И только при этом условии переменная величина может быть бесконечно–малой. Она должна иметь своим пределом нуль—только тогда она действительно бесконечно мала.
Применяя это к нашему рассуждению, мы должны ∆х считать бесконечно–малым. ∆х должно стремиться к нулю, оно должно иметь своим пределом нуль. Но тогда существенно меняется вся картина выставленного выше отношения . Именно, Ах становится все меньше и меньше. Соответственно и Δу должно становиться все меньше и меньше. Чтобы конкретно представить себе новые значения аргумента χ в связи с уменьшающимся приращением ∆х, вычислим соответственно новые значения функции, уменьшающиеся приращения функции, а также и отношение мы получим примерно след. табличку.
Начальное значение X Новое значение Приращ. Δy ННачальное значение У Новое Приращ. Δу
X значение у 3 4 1 10 17 1 7 3,9 0,9 16,21 6,21 6,9 3,8 0,8 15,44 5,44 6,8 3,7 0,7 14,69 4,69 6,7 3,6 0,6 13,90 3,90 6,5 3,001 0,001 10,006001 0,006001 6,001
Пусть у нас имеется функция
у = х2 + 1
и пусть начальное значение x: будет 3. Тогда начальное значение у=32+1 = 10. Возьмем теперь какое–нибудь новое значение x, напр. 4, тогда y =42+1 = 17. В первом случае приращение будет
Δ.γ = 4 — 3 = 1,
во втором случае приращение будет
∆у— 17— 10 = 7.
Следовательно, = =7.
Будем теперь постепенно уменьшать Δx, придавая ему значения 0,9; 0,8; 0,7 и т. д. Соответственно будет меняться χ и также у, а стало быть, и . Мы действительно видим, что принимает все меньшие и меньшие значения: 7; 6,9; 6,8; 6,7 и т. д. Спрашивается: до каких же пор будет это отношение уменьшаться? ∆х стремится к нулю. К чему же стремится ?
Чтобы ответить на этот вопрос, представим вышеприведенное выражение — при помощи данной формулы у=χ2 +1. Именно, взявши приращенную функцию, получаем:
у+∆у=(х+∆х)2+1 = χ2 + 2χΔχ+(Δχ)2 +1,
откуда
∆у = х2 + 2х∆х + (∆х)2+1—(х2 +1) =
=χ2+2χΔχ+(Δχ)2+1 — χ2 — 1 = 2х ∆х+(∆х)2.
Следовательно,
Итак, чтобы судить о том, к чему стремится, достаточно полученное выражение 2х+∆х взять в пределе, т. е. в условии стремления ∆х к нулю. Очевидно, если Ах стремится к нулю, то стремится к 2х, так как ∆х, как стремящееся к нулю, стремится просто отпасть. Значит, если начальное значение аргумента χ у нас было 3, то предел отношения будет равен, очевидно, 2–3 = 6.
И действительно, просматривая в нашей табличке значения , мы видим, что оно постепенно уменьшается, но не становится меньше 6. Если бы мы взяли, напр., ∆х = 0,001, то, как показывает вычисление, оказалось бы равным 6,001. Легко проверить это, подставляя все меньшие и меньшие ∆х и получая отсюда все меньшие и меньшие , но не становящиеся меньше 6. 6—это предел, Δχ к которому стремится если брать функцию у=х2+1 при начальном значении х=3.
На этом простейшем примере отчетливо видно, какую форму приобретает взаимоотношение χ и у, когда оно начинает действовать не само по себе, но в своем инобытии, в своем становлении, когда они сплошно и неизменно растут или вообще меняются.
Предел этого отношения , когда ∆х стремится к нулю, и есть производная, т. е. функция, «произведенная» от у, которую называют первообразной функцией. Следовательно, производная данной функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда это приращение аргумента стремится к нулю как к своему пределу.
Не будем забиваться в абстрактные дебри, как это любят делать математики, давая это понятие в дифференциальном и интегральном исчислении. Также недостаточны для понимания производной и те геометрические и механические привнесения и толкования, которыми математики уснащают свои руководства, думая на них конкретизировать это отвлеченное понятие. Надо, однако, еще до этих применений и толкований научиться понимать эту замечательную категорию, понимать всю ее жизненную и, следовательно, философскую конкретность.
Что такое производная? Для понимания этой основной категории математического анализа надо с максимальной отчетливостью представить себе разницу между бытием и инобытием или, точнее, между бытием и становлением. Если эта разница усвоена нами с достаточной отчетливостью, тогда необходимо достигнуть четкости еще в представлении того, как совершается стремление к пределу. Если эти две вещи усвоены, то логический состав производной будет ясен сам собой.
Что такое становление? Его удобно можно обрисовать путем противопоставления голому бытию (или голой идее[228]), по сравнению с чем оно действительно есть резкая противоположность. Бытие есть прежде всего нечто оформленное и устойчивое; становление бесформенно стремится вперед. Бытие — царство раздельности, координированности; становление же есть алогический процесс, в котором все отдельные моменты сливаются в одну неразличимую непрерывность. Арифметика оперирует с числами вне всякой их процессуальности. Для нее они — вечные, незыблемые идеи, предстоящие в виде некоей картины, и считающий только выбирает из этой картины то одни числа, то другие. Алгебра и элементарная геометрия, не оперируя с арифметическими числами, все же, вполне на манер арифметики, оперируют со своими величинами опять–таки чисто статически. И только в анализе дана чистая стихия становления, чистое алогическое становление, в котором тонет всякая раздельность, затухает всякое оформление и совершается уход в бесконечную даль, к неохватным горизонтам.
Идеи, числа, вещи, взятые как неподвижные, статические, вечные структуры, предстоят как определенным образом связанные между собой, предстоят в некоем конкретном взаимоотношении. Будучи же погружены в стихию становления, они в корне меняют свое взаимоотношение; оно становится неузнаваемым, хотя мы и должны уметь выводить это их алогически–становя–щееся взаимоотношение из их логически–неподвижного взаимоотношения. Вещи, идеи, числа—все, что мыслится и существует, — одним образом взаимосоотносится, когда берется в чистом и непосредственном виде, и совершенно другим способом взаимосоотносится, когда уходит в алогическое становление и растворяется в нем. Итак, это первое и самое главное в производной: производная есть взаимоотношение величин, перешедших в алогическое становление.
