Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Некоторые последователи Платона никак не могли примириться с отсутствием фундаментальной стихии, которая была бы связана с додекаэдром, и кое-кто постулировал существование пятой стихии. Например, Аристотель считал, что пятая вселенская стихия (квинтэссенция) – это эфир, материал, из которого созданы небесные тела и который, по мнению Аристотеля, пронизывал всю Вселенную. Аристотель утверждал, что пятая стихия, пронизывающая всю материю, обеспечивает движение и изменение в соответствии с законами природы. Идея субстанции, пропитывающей пространство и служащей средой для распространения света, доминировала в науке вплоть до 1887 года, когда американский физик Альберт Абрахам Майкельсон и химик Эдвард Уильямс Морли провели свой знаменитый опыт и доказали, что такой среды не существует (согласно современной теории света, она и не нужна). В сущности, в ходе опыта ученые измерили скорость двух лучей света, направленных в разные стороны. Ожидалось, что поскольку Земля движется сквозь эфир, скорости двух лучей окажутся разными, однако опыт однозначно показал, что это не так. Результат опыта Майкельсона-Морли натолкнул Эйнштейна на поиски теории относительности.
Затем события приняли неожиданный поворот: в 1998 году две группы астрономов обнаружили, что наша Вселенная не просто расширяется (что уже доказал астроном Эдвин Хаббл в двадцатые годы), но расширяется с ускорением. Это открытие вызвало настоящее потрясение, поскольку астрономы, естественно, полагали, что расширение должно замедляться из-за силы тяготения. Ведь если бросить мяч вверх, стоя на поверхности Земли, его движение будет замедляться, поскольку на него действует сила тяготения, которая в конце концов и заставит его изменить направление движения на противоположное, – так и сила тяготения всей материи во Вселенной, казалось бы, должна замедлить скорость космического расширения. Открытие, что расширение не замедляется, а ускоряется, наводит на мысль о существовании какой-то «темной энергии», которая проявляется как отталкивающая сила, которая в нашей нынешней Вселенной пересиливает силу тяготения. Физики еще спорят о том, каков источник и природа этой «темной энергии». Согласно одной гипотезе эта энергия связана с квантовым полем, пронизывающим весь космос наподобие знакомого нам электромагнитного поля. Это поле очень похоже на невидимую среду Аристотеля и даже иногда называется «квинтэссенция». Кстати, в научно-фантастическом фильме Люка Бессона «Пятый элемент» «пятой стихией» – «квинтэссенцией» – была названа сила самой жизни, то, что оживляет неживое.
Теория Платона отнюдь не сводилась к символической связи фигур и стихий. Он отметил, что грани первых четырех правильных многогранников можно составить из двух видов прямоугольных треугольников: равнобедренного, с углами 45°–90°–45°, и треугольника с углами 30°–90°–60°. Далее Платон объясняет, как при помощи этих свойств можно объяснить основные «химические реакции». Например, согласно платоновой «химии», когда огонь нагревает воду, получается две частицы пара (воздуха) и одна частица огня. Формулу этой реакции можно записать так:
[вода] → 2 [воздух] + [огонь]
А если сбалансировать количество участвующих в реакции граней платоновых тел, которые соответствуют этим стихиям, то получится 20 = 2 × 8 + 4. Хотя это, конечно, никак не соответствует современному пониманию структуры материи, основная идея, что большинство фундаментальных частиц в нашей Вселенной и их взаимодействия можно описать математической теорией, которой свойственна некоторая симметрия, – краеугольный камень современных исследований в области физики частиц.
Сложные явления, которые мы наблюдаем во Вселенной, для Платона не играли существенной роли: он считал, что подлинно фундаментальна именно лежащая в их основе симметрия, а она не меняется. Это представление отнюдь не противоречит современным представлениям о законах природы. Ведь эти законы, в частности, одинаковы во всех уголках Вселенной. По этой причине законы, которые мы выводим из лабораторных экспериментов, можно применить, скажем, при изучении атома водорода и здесь, на Земле, и в галактике, лежащей в миллиардах световых лет от нас. Эта симметрия законов природы проявляется и в том, что величина, которую мы называем импульсом (равная произведению массы тела и его скорости и имеющая направление), сохраняется, то есть имеет одно и то же значение что сегодня, что через год. Подобным же образом, поскольку законы природы с течением времени не меняются, сохраняется и величина, которую мы называем энергией. Энергию невозможно получить из ничего. Вот почему современные теории, основанные на симметриях и на законах сохранения, – законы подлинно платонические.
Вероятно, интерес к многогранникам у пифагорейцев был первоначально вызван наблюдениями над кристаллами пирита в Южной Италии, где находилась пифагорейская школа. Кристаллы пирита, он же серный колчедан, часто имеют в форму додекаэдра. Однако платоновы тела, их красота и математические свойства поражали воображение ученых и спустя много столетий после Платона – и упоминания о них мы встречаем в самых неожиданных местах. Например, в научно-фантастическом романе Сирано де Бержерака (1619–1655) «Иной мир» автор строит летательный аппарат в виде икосаэдра, чтобы сбежать из башни, где он заточен, и приземлиться на Солнце.
Золотое сечение, число φ, играет важнейшую роль в пропорциях и симметрических свойствах некоторых платоновых тел. В частности, додекаэдр с длиной ребра (места, где сходятся две грани) в одну единицу, имеет площадь поверхности в 15 × φ / (√3 – φ) и объем 5 × φ3 / (6–2 × φ). Подобным же образом икосаэдр с длиной ребра в одну единицу имеет объем (5 × φ5)/6.
Из симметрии платоновых тел можно вывести интересные следствия. Например, у куба и октаэдра одинаковое число ребер – 12, – однако число граней и вершин взаимно обратное – у куба шесть граней и восемь вершин, а у октаэдра восемь граней и шесть вершин. То же самое можно сказать о додекаэдре и икосаэдре – у обоих по 30 ребер, но у додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у икосаэдра – наоборот. Это симметрическое сходство платоновых тел позволяет очень интересно вписывать правильный многогранник в его «двойник». Если соединить центры граней куба, получится октаэдр (рис. 21), а если соединить центры граней октаэдра, получится куб. Ту же самую процедуру можно проделать, чтобы вписать икосаэдр в додекаэдр и наоборот – а соотношение длин ребер каждого многогранника (одного в другом) опять же можно выразить при помощи золотого сечения: это φ2/√5. А тетраэдр – сам себе «двойник»: если соединить четыре центра граней тетраэдра, получится другой тетраэдр.
Рис. 21
Хотя в античности были известны не все свойства платоновых тел, ни от Платона, ни от его последователей не скрылась их красота. В некотором смысле даже трудности при построении этих фигур, которые поначалу возникали (пока не были выведены методы, связанные с золотым сечением), можно считать их имманентными свойствами. Ведь последние слова диалога «Гиппий Больший» гласят: «Прекрасное – трудно». Греческий историк Плутарх (ок. 46 – ок. 120) в своем сочинении «Об упадке оракулов» пишет: «Пирамида [тетраэдр], октаэдр, икосаэдр, додекаэдр, все первоначальные фигуры, которые предсказывает Платон, прекрасны благодаря симметрии и равенствам в их отношениях, и ничего лучше и даже ничего сопоставимого с ними Природа не создала».
Рис. 22
Как уже упоминалось, икосаэдр и додекаэдр тесно связаны с золотым сечением, и связей этих несколько. Например, 12 вершин икосаэдра можно объединить в три группы по четыре, и вершины из каждой группы будут лежать на углах золотого прямоугольника, то есть прямоугольника, у которого длины сторон соотносятся как φ. Прямоугольники перпендикулярны друг другу, а единственная их общая точка лежит в геометрическом центре икосаэдра (рис. 22). Подобным же образом центры 12 пятиугольных граней додекаэдра можно объединить в три группы по четыре, и каждая из этих групп также составит золотой прямоугольник. Тесные связи между некоторыми плоскими фигурами, скажем, правильным пятиугольником и пентаграммой, и золотым сечением привели к неизбежному выводу, что интерес греков к золотому сечению начался, вероятно, с попыток построить подобные плоские фигуры и геометрические тела. Подобные математические изыскания велись примерно в начале IV века до н. э. Однако до нас дошли и многочисленные утверждения, что на основе золотого сечения создан и архитектурный проект Парфенона, который был построен и украшен в 447–432 годах до н. э., в правление Перикла. Насколько обоснованны подобные заявления?
Обитель Девы
