Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Если выбирать между φ и π как потенциальными мерилами архитектуры пирамид, очевидно, что у π перед φ есть преимущество. Во-первых, папирус Ринда (Ахмеса), один из основных источников о познаниях египетских математиков, сообщает нам, что древние египтяне, жившие в XVII веке до н. э., по крайней мере приблизительно знали значение π, а о том, что им было известно число φ, нет никаких свидетельств. Вспомним, что Ахмес переписывал свой справочник по математике примерно в 1650 году до н. э., в гиксосский период или период «царей-пастухов». Однако он отмечает, что оригинальный документ относился к периоду фараона Аменмехмета (Аменемеса) III из Двенадцатой династии, и в принципе возможно, хотя и маловероятно, что содержание документа было известно и во времена строительства великой пирамиды Хеопса. В папирусе содержится 87 математических задач, которым предшествует таблица дробей. У нас есть достаточно доказательств (и другие папирусы, и исторические источники), что этой таблицей продолжали пользоваться как справочным материалом почти две тысячи лет. Ахмес пишет, что этот документ – «врата в знания обо всем сущем и обо всех неведомых тайнах». Принятое в Египте приближенное значение числа π фигурирует в задаче номер 50 папируса Ринда, где идет речь о вычислении площади круглого поля. Ахмес предлагает такое решение: «Отними 1/9 диаметра, а остаток возведи в квадрат». Из этого мы делаем вывод, что египтяне предполагали, что π = 3,16049…, что отличается от точного значения 3,14159… менее чем на 1 процент.
Второе преимущество π перед φ следует из интересной теории о том, что строители учитывали π при проектировании пирамид, даже не зная его точного значения. Эту теорию выдвинул Курт Мендельсон в «Загадке пирамид». Логика Мендельсона такова. Поскольку нет абсолютно никаких свидетельств, что египтяне времен Древнего Царства знали математику на уровне хоть сколько-нибудь выше самого элементарного, присутствие π в геометрии пирамид наверняка можно считать следствием не теоретических, а практических строительных приемов. Мендельсон предполагает, что древние египтяне, вероятно, при измерении вертикальных и горизонтальных размеров пользовались разными мерами длины. Похоже, чтобы измерять высоту пирамид (в локтях), они применяли веревки из пальмового волокна, а чтобы измерять длину стороны основания – каталки-барабаны (диаметром в локоть). То есть горизонтальную длину считали в оборотах – можно сказать, в «катальных локтях». Выходит, египетскому зодчему оставалось всего лишь выбрать, сколько локтей в высоту должны построить рабочие на каждый горизонтальный катальный локоть. Поскольку каждый катальный локоть равен π локтям (длина окружности с диаметром в 1 локоть), этот метод строительства придал бы параметрам пирамид соотношение π, даже если строители не имели бы об этом ни малейшего представления.
Разумеется, проверить умозаключения Мендельсона у нас нет никакой возможности. Однако некоторые египтологи утверждают, что есть прямые свидетельства, что при проектировании великих пирамид не учитывалось ни золотое сечение, ни π. Эта теория основана на концепции секеда. Секед – это всего-навсего мера наклона граней пирамиды или, точнее, количество горизонтальных локтей, на которое надо было сместиться на каждый вертикальный локоть. Очевидно, для строителей это была важная практическая величина, ведь им нужно было, выкладывая очередной ряд каменных блоков, сохранять форму всего сооружения. Задачи, которые в папирусе Ринда значатся под номерами 56–60, как раз и относятся к вычислению секеда и подробно разобраны в великолепной книге Ричарда Дж. Джиллингса «Математика во времена фараонов» (Richard J. Gillings. Mathematics in the Time of the Pharaohs). В 1883 году сэр Флиндерс Петри обнаружил, что при строительстве великой пирамиды Хеопса конкретная величина секеда (наклона грани пирамиды) была выбрана таким образом, что «отношение периметра основания пирамиды к ее высоте равно 2 π» с довольно высокой точностью, однако само число π в ее дизайне не играет абсолютно никакой роли. Сторонники теории секеда подчеркивают, что точно такой же секед обнаруживается и в параметрах ступенчатой пирамиды в Медуме, выстроенной незадолго до великой пирамиды в Гизе.
С теорией секеда согласны не все. Курт Мендельсон пишет: «Было предложено великое множество математических объяснений, и среди них – даже гипотеза одного видного археолога [Петри], которая гласит, что строители будто бы случайно применили соотношение 14/11 [очень близко к 4/π], но все они, к сожалению, крайне неубедительны». С другой стороны, Роджер Герц-Фишер, изучивший ни много ни мало девять теорий, претендующих на истолкование проекта великой пирамиды, в статье, опубликованной в 1978 году в журнале «Crux Mathematicorum», пришел к выводу, что теория секеда, весьма вероятно, верна.
Однако с нашей точки зрения, если верна любая из двух гипотез – теория секеда или теория катальных локтей, – золотое сечение не играло никакой роли при создании великой пирамиды.
Так можно ли считать, что вопрос о золотом сечении и великой пирамиде, насчитывающий 4500 лет, наконец-то закрыт? Мы, конечно, от души на это надеемся, однако история, к несчастью, доказывает, что мистическое очарование пирамид и нумерологическая «тайна» золотого сечения оказываются сильнее даже самых основательных доказательств. Доводы, которые выдвигали Петри, Джиллингс, Мендельсон и Герц-Фишер, известны уже много десятков лет, однако это ничуть не мешает публиковать многочисленные новые книги, на все лады рассказывающие о надуманной «загадке» золотого сечения.
Так что с нашей точки зрения можно заключить, что крайне маловероятно, чтобы золотое сечение и его свойства открыли древние вавилоняне или древние египтяне – эту задачу предстояло решить греческим математикам.
Второе сокровище
У геометрии есть два великих сокровища: одно – теорема Пифагора, второе – деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое мы уподобим мерке золота, второе же – драгоценному самоцвету.
Иоганн Кеплер (1571–1650)Нет никаких сомнений, что каждый, кто воспитан в западной или ближневосточной цивилизации, во всем, что касается математики, естественных наук, философии, литературы и искусства, является учеником древних греков. Немецкий поэт Гёте писал: «Именно греки умели мечтать о жизни слаще всех народов», и это лишь скромная дань уважения отважным первопроходцам и всем открытиям, которые сделали греки в различных областях знания, ими же разработанных и названных.
Однако даже самые блестящие достижения греков во всех прочих сферах меркнут рядом с их головокружительными открытиями в математике. К примеру, всего за четыреста лет – от Фалеса Милетского (ок. 600 г. до н. э.) до «великого геометра» Аполлония Пергского (ок. 200 г. до н. э.) греки полностью сформировали основы геометрической теории.
Успехи греков в математике во многом были прямым следствием страсти к познанию ради познания, а не ради практических целей. Рассказывают, что один ученик Евклида, изучив вместе с ним некую теорему, спросил: «А что я с этого получу?» Евклид приказал рабу дать мальчику медную монету, чтобы тот увидел, что наука и в самом деле занятие прибыльное.
Образование государственного деятеля во времена Платона должно было включать в себя арифметику, геометрию, стереометрию, астрономию и музыку – и все это, как рассказывает нам пифагореец Архит, подпадало под общее название «математика». По легенде, когда Александр Великий спросил своего учителя Менехма (которому приписывают открытие эллиптической кривой, параболы и гиперболы), нельзя ли изучить геометрию как-нибудь поскорее, получил ответ: «О повелитель, в странствиях по нашему царству можно найти дороги для царей и дороги для простых граждан, однако в геометрию нет царского пути».
Платон
В таком интеллектуальном окружении и вырос Платон (428/427 г. до н. э. – 348/347 г. до н. э.), один из самых влиятельных умов Древней Греции и западной цивилизации в целом. Считается, что Платон изучал математику у пифагорейца Феодора Киренского, который первым доказал, что не только √2, но и √3, √5 и так далее вплоть до √17 – иррациональные числа. Почему он остановился на 17, никто в точности не знает, однако общего доказательства он, очевидно, вывести не сумел. Некоторые исследователи утверждают, что Феодор, вероятно, приводит самое легкое доказательство несоизмеримости, опираясь на понятие золотого сечения (идея примерно та же, что и в Приложении 2).
В своем «Государстве» Платон пишет, что математику совершенно необходимо включать в программу образования всех философов и государственных деятелей. Подобным же образом надпись над входом в его школу (Академию) гласила: «Не геометр да не войдет!» Историк математики Дэвид Юджин Смит в своей книге «Наш долг перед Грецией и Римом» (David Eugene Smith. Our Debt to Greece and Rome) называет это первым требованием к абитуриентам в истории. Восхищение математикой очевидно и тогда, когда Платон не без зависти пишет об отношении к математике в Египте, где на потеху детишкам изобрели арифметические игры, которые они изучают с удовольствием и забавы ради.
