Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы
Используя последний метод, прибавляем 6,70 доллара к половине данной величины, равной 3,35 доллара, чтобы получить
6,70 + 3,35 = 10,05.
Наконец, для подсчета 25 % чаевых мы предлагаем два метода. Либо умножьте сумму на 25, а затем разделите на 100, либо разделите сумму на 4 (возможно, путем двойного деления числа на два). Например, при счете в 42 доллара можно вычислить 42 х 25 = 42 х 5 х 5 = 210 х 5 = 1050, что при делении на 100 дает чаевые в размере 10,50 доллара. Или можно разделить исходную величину на 4, или сократить ее наполовину дважды: половина 42 долларов — 21 доллар, и еще пополам — 10,50 доллара. При счете в 67 долларов я бы, вероятно, разделил прямо на 4: так как 67 ÷ 4 = 16 3/4, получаем 25 % чаевых в размере 16,75 доллара.
НЕОБРЕМЕНИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НАЛОГОВ
В этом разделе я продемонстрирую метод устной оценки величины налога с продаж. Для некоторых налоговых ставок, таких как 5 %, или 6 %, или 10 %, требуются прямые вычисления.
Например, чтобы посчитать налог 6 %, нужно просто умножить цену на 6 и разделить на 100. Допустим, цена составляет 58 долларов, тогда 58 х 6 = 348, что при делении на 100 дает точный размер налога с продаж 3,48 доллара. (При этом общая сумма будет равна 61,48 доллара.)
Но как посчитать налог в 6,5 % от 58 долларов? Я покажу вам несколько способов, как это сделать, а вы выберете тот, который покажется вам наиболее приемлемым. Наверное, самый легкий способ прибавить полпроцента к любой сумме в долларах состоит в ее делении пополам и последующем переводе в центы. В примере с 58 долларами их половина составляет 29. Поэтому просто прибавьте 29 центов к 6 % налога (уже посчитанным 3,48 доллара) и получите налог в размере 3,77 доллара.
Другой метод расчета ответа (или хорошей устной оценки) состоит в следующем: берем налог в 6 %, делим его на 12, затем складываем эти два числа. Например, 6 % от 58 долларов равно 3,48 доллара, а 348 при делении на 12 даст почти 30, поэтому прибавляем 30 центов для получения оценки в 3,78 доллара, что отличается от точного значения всего на один цент. Если вы предпочитаете делить на 10 вместо 12, пробуйте. Вы вычислите 6,6 % вместо 6,5 % (так как 6/10 = 0,6), но это все еще будет хорошей оценкой. Здесь вы возьмете 3,48 доллара и прибавите 34 цента для получения 3,82 доллара.
Попробуем другие процентные ставки налога с продаж.
Как посчитать 7,25 % от 124 долларов? Вначале вычислите 7 % от 124. С помощью методов, показанных в главе 2, вы найдете, что 124 х 7 = 868. Значит, 7 % от 124 будет 8,68 доллара. Чтобы прибавить четверть процента, можно разделить исходную сумму в долларах на 4 (или сократить ее наполовину дважды) и перевести доллары в центы. Здесь 124 ÷ 4 = 31, поэтому прибавьте 31 цент к 8,68 доллара и получите точный размер налога — 8,99 доллара.
Еще один способ прийти к 31 центу: возьмите налог с продаж 7 % (8,68 доллара) и разделите его на 28. Причина, по которой это работает, заключается в том, что 7/28 = 1/4. Для быстрой устной оценки я бы, вероятно, разделил 8,68 доллара на 30, чтобы получить около 29 центов. Тогда приблизительный налог с продаж будет равен 8,97 доллара.
Деля на 30, в действительности вы вычисляете налог в размере 7 и 7/30 %, что приблизительно составляет 7,23 % вместо 7,25 %.
Как бы вы посчитали налог с продаж в размере 7,75 %? Вероятно, для большинства приближений достаточно сказать, что это немного меньше 8 %. Здесь вы найдете несколько предложений для получения лучших приближений. Как вы убедились в прошлом примере, если вы с легкостью можете вычислить корректировку в 0,25 %, то, просто утроив это число, можно получить корректировку в 0,75 %. Например, чтобы найти 7,75 % от 124 долларов, вы сначала рассчитываете 7 %, что составит 8,68 доллара. Если вы вычислите, что 0,25 % = 31 цент, то 0,75 % будет равно 93 центам; для получения общего итога сложим 8,68 + 0,93 = 9,61 доллара. Для быстрой оценки можно использовать тот факт, что 7/9 = 0,777 приблизительно равно 0,75. Поэтому можно разделить 7 % налога на 9, чтобы получить оценку, несколько превышающую 0,75 %. В данном примере, если при делении 8,68 доллара на 9 получим около 96 центов, то просто складываем 8,68 + 0,96 = 9,64 доллара, что почти совпадает с точным значением, хоть и с незначительным превышением.
Такую процедуру приближения можно использовать для любых налогов с продаж. Вот общая формула: чтобы оценить налог с продаж в размере A,B% долларов, сначала умножьте цену на A%. Затем разделите эту величину на число D, где A/D равняется 0,B. (Таким образом, D = А/В.) Сумма этих чисел составит общий размер налога. (Или его оценку, если вы округлили D до некоторого числа для упрощения вычислений.)
Например, с налогом 7,75 % магический делитель D равен 7 х 4/3 = 28/3 = 9 1/3, что мы округлим до 9 в меньшую сторону.
Для налога с продаж в размере 6 и 3/8 % сначала посчитайте налог в размере 6 %, затем разделите полученное число на 16, так как 6/16 = 3/8. (Чтобы разделить число на 16, разделите его дважды на 4, или сначала на 8, а затем на 2.) Попробуйте придумать метод для расчета налога с продаж в вашем регионе. Вы поймете, что эта задача не столь сложна, как кажется!
НЕСКОЛЬКО ИНТЕРЕСНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В этом разделе мы вкратце рассмотрим несколько практических задач, связанных с процентами, временем увеличения суммы ваших сбережений и сроками погашения кредита.
Начнем со знаменитого Правила 70, которое гласит: чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, разделите число 70 на годовую процентную ставку. Предположим, вам предложили инвестиционную возможность, которая сулит выплаты в размере 5 % годовых. Так как 70 ÷ 5 = 14, потребуется около 14 лет, чтобы ваши деньги удвоились. Например, если вы разместили 1000 долларов на депозите под такую процентную ставку, то после 14 лет на нем будет 1000 х (1,05)14 = 1979,93 доллара. С процентной ставкой 7 %, согласно правилу 70, вам понадобится около 10 лет для удвоения денег. В самом деле, если вы вложите 1000 долларов по этой годовой процентной ставке, то через 10 лет получите 1000 х (1,07)10 = 1967,15 доллара. Что касается ставки в 2 %, то для удвоения сбережений в данном случае понадобится около 35 лет!
1000 х (1,02)35 = 1999,88
Еще одно похожее правило называется Правило 110; оно определяет, как долго ваши деньги будут утраиваться. Например, при ставке в 5 %, так как 110 ÷ 5 = 22, потребуется около 22 лет для того, чтобы 1000 долларов превратилась в 3000 долларов. Это подтверждается вычислением 1000 х (1,05)22 = 2 925,26 доллара. Правило 70 и Правило 110 основаны на свойствах числа e = 2,71828… и «натуральных логарифмах», но, к счастью, нам нет нужды использовать высшую математику, чтобы применять их.
Предположим, вы заняли деньги и рано или поздно должны их вернуть. Например, вы взяли кредит 360 000 долларов с годовой ставкой 6 % (то есть 0,5 % ставки каждый месяц) на 30 лет. Сколько примерно придется выплачивать ежемесячно? Прежде всего, каждый месяц вам понадобится 1800 долларов (360 000 долларов умножить на 0,5 % = 1800 долларов)
только для того, чтобы покрыть проценты. (Хотя на самом деле ваши долги по процентам будут распределяться равномерно.) Так как вы совершите 30 х 12 = 360 месячных выплат, то выплата дополнительной тысячи долларов каждый месяц покроет остаток вашего займа. Итак, верхняя граница ежемесячных выплат будет равна 1800 долларов + 1000 долларов = 2800 долларов. К счастью, вам не придется платить столько сверху. Вот мое правило большого пальца для оценки месячных платежей.
Обозначим буквой i вашу месячную процентную ставку.
(Годовая ставка, деленная на 12.) Тогда для выплаты кредита в размере P долларов за N месяцев месячная выплата М будет приблизительно равна:
В нашем последнем примере P = 360 000 долларов и i = 0,005. Формула показывает, что месячная выплата должна составлять:
Обратите внимание, что первые два числа в числителе при умножении дают 1800 долларов. С помощью калькулятора (для разнообразия) подсчитаем (1,005)360 = 6,02, тогда месячная выплата должна равняться 1800 х (6,02)/5,02, что примерно составляет 2160 долларов в месяц.
Еще один пример. Предположим, вы взяли машину в кредит и после первоначального взноса должны выплатить 18 000 долларов за 5 лет с годовой ставкой 4 %. Без процентов вы должны были бы платить 300 долларов (18 000 ÷ 60) в месяц. Так как ставка процента за первый месяц будет составлять 18 000 х 0,04/12 = 720/12 = 60 долларов, отсюда следует, что платить в месяц нужно не больше 300 + 60 = 360 долларов.
Здесь месячный процент i = 0,04/12 = 0,00333. Применим нашу формулу и получим:
Так как (1,00333)60 = 1,22, размер месячной выплаты составит 60 х 1,22/0,22 = 333 доллара.
Подведем итоги этой главы упражнениями, которые, надеюсь, поддержат ваш интерес к представленным здесь темам.
УПРАЖНЕНИЯ НА ПРИБЛИЖЕННУЮ ОЦЕНКУ
Решите следующие упражнения на вычисление приближенной оценки; затем сверьте свои ответы и ход вычислений с ответами в конце книги.
