Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы
Корень квадратный из n (обозначается ) — это число, которое при умножении само на себя дает n. Например, квадратный корень из 9 равен 3, поскольку 3 х 3 = 9. Квадратный корень используется при решении многих научных и инженерных задач и почти всегда рассчитывается на калькуляторе.
Следующий метод обеспечивает точную оценку ответа.
При оценке квадратного корня основная цель — найти число, которое при умножении само на себя приближается к исходному. Так как квадратный корень из большинства чисел не целое число, ваша оценка, вероятно, тоже будет содержать дробную часть.
Начнем с приближенной оценки квадратного корня из 19.
Первое действие — выяснить, какое число при умножении само на себя будет максимально приближаться к 19. Берем два возможных варианта: 4 х 4 = 16 и 5 х 5 = 25. Так как 25 слишком много, ответ должен быть 4 плюс «что-то». Следующий шаг — деление 19 на 4, дающее 4,75. Поскольку 4 х 4 меньше, чем 4 х 4,75 = 19 (что, в свою очередь, меньше произведения 4,75 х 4,75), получается, что 19 (или 4 х 4,75) находится между 42 и 4,752. Следовательно, квадратный корень из 19 лежит где-то между 4 и 4,75.
Я бы предположил, что он будет посередине, на отметке 4,375. В действительности это 4,359, так что наша оценка довольно близка к истинному значению. Проиллюстрируем данную процедуру следующим образом.
На самом деле данный ответ можно получить другим, более простым способом. Мы знаем, что 4 в квадрате равно 16, что меньше 19 на 3 единицы. Чтобы уточнить нашу оценку, прибавим к ней погрешность, деленную на удвоенное предположение. То есть к 4 прибавим 3, деленное на 8, чтобы получить 4⅜= 4,375. Заметим, что этот метод всегда будет давать ответ немного больше точного.
Теперь попробуйте решить более сложный пример. Чему равен квадратный корень из 87?
Сначала определим приблизительный итог исходя из того, что 9 х 9 = 81 и 10 х 10 = 100. Это означает, что ответом будет 9 с хвостиком. Поделив 87 на 9 (до десятых), получим 9,66.
Чтобы улучшить приближенную оценку, возьмем среднее между 9 и 9,66, которое равно 9,33 — точный квадратный корень из 87, округленный до десятых! Другим способом приближенная оценка равна 9 + (погрешность)/18 = 9 + 6/18 = 9,33.
Использование этой техники делает приближенную оценку квадратного корня довольно-таки легкой для двузначных чисел. Но как насчет трехзначных? Здесь ситуация ненамного сложнее. Могу сразу сообщить, что все трехзначные и четырехзначные числа имеют двузначные квадратные корни (с точностью до десятых). И процедура их вычисления такая же, независимо от того, насколько велико число. Например, чтобы извлечь квадратный корень из 679, сначала нужно оценить ответ. Поскольку 20 — это квадратный корень из 400, а 30 — квадратный корень из 900, квадратный корень из 679 должен лежать между 20 и 30.
Если разделить 679 на 20, выйдет примерно 34. Усреднение 20 и 34 дает приблизительную оценку 27, но есть вариант получше. Если вы знаете, что 25 в квадрате 625, то погрешность 679–625 = 54. Разделив это число на 50, получим 54/50 = 108/100 = 1,08. Следовательно, улучшенная оценка составит 25 + 1,08 = 26,08. (Для еще более точной оценки: если вы знаете, что 26 в квадрате 676, погрешность будет 3, так что прибавьте 3/52 (приблизительно равно 0,06) и получите 26,06.)
С точностью до сотых ответ будет равен 26,06.
Чтобы приближенно оценить квадратный корень из четырехзначного числа, взгляните на его первые две цифры.
Например, чтобы найти квадратный корень из 7369, оцените квадратный корень из 73. Так как 8 х 8 = 64, а 9 х 9 = 81, то 8 должна быть первой цифрой квадратного корня. Значит, равняемся на «80 плюс…». Теперь приступим к обычному методу решения. Деление 7369 на 80 дает 92 плюс дробь, так что хорошим приближением будет 86[6]. Если возвести в квадрат 86, что равняется 7396, то это число на 27 больше 7369. Теперь делим разность 27 на удвоенное число 86, получаем 27/172, что приближенно равно 0,16. Отсюда следует, что улучшенная оценка 86 — 0,16 = 85,84.
Приближенная оценка квадратного корня из шестизначного числа вроде 593 472 может показаться невозможной для непосвященного. Но вы даже не успеете устать. Так как 7002 = 490 000 и 8002 = 640 000, квадратный корень из 593 472 должен находиться между 700 и 800. На самом деле все пяти- и шестизначные числа имеют трехзначные квадратные корни. На практике вам нужно извлечь квадратный корень только из первых двух цифр шестизначного числа (или из первой цифры пятизначного). Выяснив, что квадратный корень из 59 лежит между 7 и 8, вы определите, что ответ равен «700 плюс…».
Теперь перейдем к привычному способу представления.
Квадратный корень из 593 472 равен 770,37, так что вы довольно близки к правильному решению. Но можно приблизиться еще больше. Как это сделать, покажет следующий прием.
Обратите внимание, что первые две цифры 59 ближе к 64 (8 х 8), чем к 49 (7 х 7). Благодаря этому можно начать оценку с цифры 8 и продолжить, отталкиваясь от нее.
Просто ради забавы сделаем что-нибудь с настоящей громадиной: извлечем квадратный корень из 28 674 529. Это не так трудно, как может показаться. Первый шаг — округление до наибольшего ближайшего числа. В данном случае надо просто найти квадратный корень из 29.
Все семизначные и восьмизначные числа имеют четырехзначные квадратные корни. Таким образом, 5,4 становится 5400 — это оценка. А более точный ответ — 5354,8. Неплохо!
На этом мы завершим главу о приближенных оценках в математике. После выполнения упражнений, представленных в ее конце, переходите к следующей главе о математике с ручкой и бумагой: вы научитесь записывать ответы в задачах быстрее, чем делали это раньше.
* * *
Математическая дуэль Эвариста Галуа
Трагическая история французского математика Эвариста Галуа (1811–1832), убитого в возрасте двадцати лет на дуэли из-за «печально известной кокетки», стала легендарной в истории математики. Не по годам развитый блестящий студент, Галуа заложил основу для раздела математики, известного как теория групп. Легенда гласит, что он изложил на бумаге эту теорию в ночь перед дуэлью, предвидя кончину и желая оставить свое наследие математическому сообществу. За несколько часов до смерти 30 мая 1832 года Галуа написал Огюсту Шевалье: «Я сделал несколько новых открытий в анализе.
Первое касается теории уравнений, остальные — интегральных функций». После этого он попросил друга: «Обратитесь с публичной просьбой к Якоби или Гауссу, чтобы высказали свое мнение не по поводу истинности, а насчет важности этих теорем. Я надеюсь, что кому-нибудь покажется интересным и полезным разобраться в этом беспорядке».
Романтическая легенда и историческая правда, однако, не всегда совпадают. То, что Галуа написал в ночь перед смертью, представляло собой исправления и редакторские правки в документах, принятых Академией наук задолго до этого. Более того, первоначальные документы Галуа были представлены за три года до дуэли, когда ему исполнилось всего семнадцать!
Именно после этого он оказался втянутым в политический конфликт, был арестован, провел какое-то время в темнице и в конечном счете ввязался в ссору из-за женщины и был убит.
Осознавая свою преждевременную зрелость, Галуа отмечал: «Я проводил исследования, которые остановят других ученых». На протяжении более чем ста лет так и происходило.
СОВЕТЫ ПО ПОВОДУ СОВЕТОВ
В главе 0 мы рассказывали, как в большинстве случаев проще вычислить сумму чаевых. Например, чтобы подсчитать 10 % чаевых, надо всего-навсего умножить счет на 0,1 (или поделить его на 10). Например, если счет равен 42 долларам, то 10 % чаевых составят 4,20 доллара. Для вычисления 20 % чаевых надо просто умножить счет на 0,2 или удвоить величину 10 % чаевых. Так, 20 % чаевых по счету в 42 доллара будут равны 8,40 доллара.
Для вычисления 15 % чаевых имеется несколько приемов. Если вы освоили техники из главы 2 и подружились с умножением, то вы просто можете умножить сумму счета на 15 и затем поделить полученный результат на 100. Например, при счете 42 доллара: 42 х 15 = 42 х 5 х 3 = 210 х 3 = 630, что легко делится на 100 и дает чаевые в размере 6,30 доллара. Другой метод: взять среднее от 10 % и 20 % чаевых. В соответствии с нашими ранними вычислениями это выглядит так:
Наверное, самый популярный способ подсчета 15 % чаевых состоит в том, чтобы взять 10 % от общего счета, поделить их на два (что соответствует 5 %), а затем сложить полученные значения. Например, при счете 42 доллара надо сложить 4,20 доллара и половину этой величины, то есть 2,10 доллара:
4,20 + 2,10 = 6,30.
Применим все три метода, чтобы вычислить 15 % от счета в 67 долларов. Прямой метод: 67 х 3 х 5 = 201 х 5 = 1005, что при делении на 100 дает 10,05 доллара. Метод усреднения: усредняем 10 % чаевых в виде 6,70 доллара и 20 % в виде 13,40 доллара и получаем:
