Иосиф Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная
Такая ситуация (отсутствие основной идеи) продолжалась сравнительно долго, и частично она была причиной неудач в попытках Эйнштейна и других выдающихся физиков построить единую теорию поля. Однако в последние два десятилетия постепенно намечались, а затем четко очертились контуры руководящего принципа поиска «истинной» симметрии динамических уравнений. Эта симметрия, известная под названием калибровочной инвариантности, была обнаружена очень давно — со времен первых исследований электромагнитных явлений, однако вначале она казалась излишеством. Затем, в двадцатых годах XX в., в особенности после работ немецкого математика и физика Г.Вейля (крестного отца этого типа симметрии), к ней привыкли, но не придавали ей сколько-нибудь решающего значения. Лишь после успехов в создании теории объединенного электрослабого взаимодействия и квантовой хромодинамики — теории сильного взаимодействия среди специалистов возникло общее убеждение: калибровочная инвариантность есть основной динамический принцип.
Констатация широкой популярности калибровочного принципа при длительном непонимании его важности не есть просто дань риторике. Вероятно, подобная ситуация отражение узловых парадоксов физики, являющихся двигателем ее прогресса. Уверенность в важности калибровочного принципа возникла на пересечении двух течений физики, которым, казалось, никогда не слиться в единое русло.
В 1954 г. работающие в США физики Ч.Янг и Ф.Миллс исследовали новый тип уравнений, описывающих безмассовые поля на основе калибровочного принципа. Но поскольку единственной в те времена известной безмассовой частицей переносчиком взаимодействия был фотон — основная частица электромагнитного взаимодействия, то уравнения Янга-Миллса посчитали физико-математической экзотикой.
В 1964 г. при полном отсутствии какой-либо видимой связи с уравнениями Янга-Миллса независимо М.Геллман и Г.Цвейг выдвинули весьма экзотическую по тем временам теорию кварков. Исключительная необычность этой теории заключалась в дробном (сравнительно с электроном) значении электрического заряда. Таких частиц никто и никогда не наблюдал, хотя их обнаружение по величине ионизационных потерь было бы весьма простым делом. Поэтому к модели кварков вначале было отношение двойное: с одной стороны привлекало ее исключительное изящество и простота, с другой — видимое противоречие с экспериментом (отсутствие реальных кварков) подрывало привычную для физических теорий основу экспериментальное обнаружение фундаментальных объектов. Однако с годами число косвенных подтверждений гипотеза кварков быстро увеличивалось, что привело к возросшему числу верящих в нее. И примерно в начале 70-х годов возникла необходимость в описании взаимодействия между кварками. Тогда вспомнили о теории Янга-Миллса, которая качественно объясняла невылетание кварков из реальных адронов`. Оказалось также, что эта теория, примененная к модели кварков, и количественно объясняет многие экспериментальные факты. Постепенно создавалось убеждение, что теория Янга-Миллса составляет основу интерпретации взаимодействия кварков. Эта теория применительно к кваркам получила название квантовой хромодинамики по аналогии с квантовой электродинамикой. Замена «электро» на «хромо» объясняется тем, что кварки (как и любые сильно взаимодействующие частицы) характеризуются цветовым (chromo) зарядом, подобно тому как электроны и протоны характеризуются электрическим зарядом (см. Дополнение). Уже упоминалось, что теория Янга-Миллса (квантовая хромодинамика) базируется на калибровочной инвариантности. Эта же симметрия лежит в основе объединенного электрослабого взаимодействия. Поэтому возникло убеждение, что именно калибровочная симметрия базис единого взаимодействия.[10]
В этом разделе мы изложим элементарные представления о калибровочной симметрии и ее фундаментальной роли.
Верные нашей схеме, мы рассмотрим простейшую систему, состоящую из двух тел. Первое, тяжелое, определяет систему отсчета, воздействует на второе тело и создает статическое (независящее от времени) поле. Движение второго тела (частицы) определяется этим полем. Движение второго тела (частицы) определяется этим полем. Понятие калибровочной инвариантности основано на постулате существования некоторой неизмеряемой на опыте функции состояния системы, но определяющей это состояние. В частном случае статического электрического поля такой функцией состояния является потенциал FI. Известно, что абсолютное значение FI не определяет никакие физические характеристики системы. Простейшее проявление этого принципа — безопасность прикосновения к одному из двух проводов, по которым протекает ток. Более сложным выводом является утверждение, что энергия системы, или работа, реализуемая при перемещении из точки x| в точку x|, определяется не абсолютными
1 2 значениями потенциалов FI(x|) и FI(x|), а исключительно их
1 2 разностью FI(x|) — FI(x|). Следовательно, значение
1 2 потенциала определено с точностью до аддитивной постоянной. Если во всем пространстве (для статической системы) изменить потенциал на одну и ту же величину b, то физическая ситуация останется неизменной.
Этот пример — простейшее и давно известное проявление калибровочной инвариантности. Однако из данного выше общего определения калибровочной инвариантности следует неоднозначность постулируемой функции состояния. Действительно, если функция определяет состояние в точке x, но не измеряется на опыте, то все физические характеристики должны зависеть от производных этой функции или (как в случае статического поля, рассмотренного выше) от разности FI(x|) — FI(x|). В обоих случаях прибавление к функции FI
1 2 величины b
FI' — > FI+b (41)
не меняет физическую ситуацию.
Различают два вида калибровочной инвариантности: 1) величина b=const(x), т. е. постоянна во всем пространстве (в этом случае говорят о глобальной калибровочной инвариантности); b=b(x) (этот случай соответствует локальной инвариантности
Мы остановимся в основном на более простом первом случае. Далее мы продемонстрируем простейшее приложение калибровочного принципа — вывод закона Кулона и закона сохранения в электростатике.
Простейшие соображения таковы. Поскольку рассматриваемая система состоит из двух тел, то вектор силы, действующий на пробное тело, должен быть направлен по линии, соединяющей оба тела. Единственный вектор, удовлетворяющий этому условию и калибровочной инвариантности, есть grad TI = d FI / dr. В частности, работа, производимая такими силами, равна интегралу
r| 2 — d FI —- dr = FI (r|) — FI (r|). dr 1 2
- r| 1
Существенно, что в рамках электростатики осуществляется глобальное (а не локальное) калибровочное преобразование. Отсюда можно вывести важное следствие: если потенциал нашей системы представляется некоторой функцией FI(r), то калибровочное преобразование (изменение потенциала в каждой точке на постоянную величине b) не изменяет основного свойства пространства: изотропию и однородность. Поскольку наша система относительно тела отсчета была сферически-симметричной, то, следовательно, все наблюдаемые физические величины (энергия, сила, действующая на пробное тело) также должны характеризоваться сферической симметрией.
Таким образом, величины grad FI или FI(x|) — FI(x|)
1 2 определяют наблюдаемые физические величины. Отсюда следует, что работа, произведенная калибровочным полем, однозначно определяется разностью FI(x|) — FI(x|) и не зависит от пути,
1 2 по которому двигалась пробная частица. Тогда можно показать, что число силовых линий статического калибровочного поля остается неизменным в пространстве (во времени оно неизменно вследствие условия статичности). Действительно, существуют две возможности изменения числа силовых линий: 1) их «обрыв» на границе некоторой пространственной области и 2) пересечение, «взаимодействие» силовых линий в некоторых точках x|, x|…. ≠ x|, x|. Обе возможности противоречат
3 4 1 2 следствию о независимости работы от пути, проходимого частицей. Действительно, рассмотрим первое допущение. Работа, производимая при переносе тела из точки x| до
1 границы области, зависит от точки границы x|, а работа,
k производимая при переносе тела из точки x| в точку x|, равна
k 2 нулю. Следовательно, суммарная работа зависит от пути, что противоречит основному постулату.
Если же силовые линии пересекаются, то силы, действующие на пробную частицу, зависят от конкретной формы пересечения силовых линий в некоторых точках x|…, x|.
1 k Это должно также привести к зависимости работы от пути. Следовательно, число силовых линий калибровочного поля (FI' — > FI+b) точечного источника в статическом случае взаимодействия в том смысле, который указан в разд.3 этой главы. Для такого случая выполняется закон F~1/r**2.
