Иосиф Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная
e электромагнитное взаимодействие, зависит от передаваемой массы чрезвычайно слабо, и мы будем в дальнейших рассуждениях этой зависимостью пренебрегать, полагая ALPHA| (m) = const.
e
Константа ALHPA| сильного взаимодействия, описываемого
s квантовой хромодинамикой, зависит от передаваемой массы приблизительно логарифмически. При условии m >> m|
p (m| ≈ 10**-24 г — масса протона) теоретическая зависимость p ALPHA| (m) имеет вид
s
ALPHA| ~ (ln mm|)**-1 (40)
s p
Константы ALPHA| ALPHA| слабого и гравитационного
w g взаимодействий квадратично (~m**2) зависят от передаваемого импульса (массы).
Именно разные энергетические зависимости констант ALPHA (m) и определяют потенциальную возможность их совпадений при некоторых значениях m. Здесь следует подчеркнуть именно потенциальность возможности существования значения m, при котором произойдет пересечение трех или четырех констант при едином значении m. Подобная ситуация отличается от предсказаний относительно совпадения двух констант, когда вполне естественно ожидать пересечения двух кривых ALPHA| (m) и ALPHA| (m) в одной точке.
1 2
Таким образом, возможность объединения взаимодействий совпадения констант ALPHA при определенном значении m apriori не очевидна. Лишь расчеты зависимостей ALPHA (m) могут подтвердить или опровергнуть возможность объединения констант. Здесь речь идет именно о расчетах, поскольку (как мы увидим ниже) масштабы масс, при которых происходят объединения трех и четырех взаимодействий, намного превосходят возможности современных или даже будущих ускорителей.
Чтобы оценить масштабы масс, при которых происходит объединение, следует приравнять выражения ALPHA|, ALPHA|,
w s ALHPA| значению ALPHA|~0.01, которое (как мы отмечали ранее)
g e можно полагать постоянной. Тогда получаем следующие значения масс, объединяющих различные взаимодействия (см. таблицу).
Значение массы, при Объединение взаимодействий котором происходят
объединения (m|)
p
Электромагнитное-слабое 10**2 Электромагнитное-слабое-сильное 10**15 Электромагнитное-слабое-сильное-гра- 10**19
витационное
Из этой таблицы следует ряд примечательных следствий. Во-первых, объединение трех и четырех взаимодействий в принципе возможно, поскольку существуют значения масс, при которых происходит слияние трех и четырех констант. Во-вторых, в объединенных теориях возникают огромные масштабы масс — 10**15 m| и 10**19 m|. Например, для
p p представления об этих величинах достаточно напомнить, что гипотетический кольцевой ускоритель с размером, равным диаметру Земли, мог бы ускорять частицы до энергии ~10**7 m|. И наконец, третье: электрослабое взаимодействие p характеризуется «человеческими» масштабами: ~100 m|. Эти
p энергии уже достижимы на самых больших современных ускорителях. И действительно, в 1983 г. на ускорителе ЦЕРНа — Коллайдере были открыты переносчики слабого взаимодействия
± 0 — W||- и Z|-бозоны со значениями масс, точно соответствующими теории Глешоу-Вайнберга-Салама, описывающей это взаимодействие.
Следует, пожалуй, пояснить причину возникновения масштабов масс в теориях, объединяющих электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия (большое объединение) и все четыре взаимодействия (супергравитация). В большом объединении этот масштаб возникает из-за вялой, логарифмической зависимости ALPHA|(m) (см. (40)).
s Приравнивая ALPHA| = ALHPA|, получаем массу объединения
s e m|≈10**15 m|. Масштаб характерной массы супергравитации x p (объединении всех взаимодействий) — следствие малости постоянной Ньютона, обуславливающей в свою очередь малость значения ALPHA| в низкоэнергетическом пределе: m~m|.
g p
Перейдем далее к определению общности свойств функций, описывающих состояние систем. Разумеется, речь идет о фундаментальных свойствах, общих для всех систем достаточно широкого класса (например, материальных точек).
На математическом языке это означает, что уравнения, определяющие изменение функций состояния во времени, инвариантны относительно определенных групповых преобразований.` Простейшим примером такой инвариантности является трансляционная инвариантность. Простейшим примером такой инвариантности является трансляционная инвариантность уравнений Ньютона. Ни уравнения, ни физическое состояние системы не меняются при замене x' — > x+a, где a — некое постоянное число. Можно привести и другой пример групповой инвариантности. Рассмотренное ранее в гл.1 вращение системы координат также оставляет уравнения механики инвариантными. Группа, соответствующая вращению N-мерной сферы, называется группой вращения. Можно сказать, что уравнения механики (впрочем, это относится также и к электродинамике, хромодинамике и ко всем взаимодействиям, кроме гравитационного) инвариантны относительно преобразований группы трехмерных вращений, что отвечает изотропии трехмерного пространства Евклида.[9]
Однако основная идея объединения взаимодействий относится не к макроскопическому пространству Евклида, а к «внутреннему» пространству элементарных частиц, отражающему их квантовые числа (см. Дополнение). Это пространство проще всего отождествить с расслоенным пространством, где база пространство Минковского, а пространства, соответствующие квантовым числам элементарных частиц (спину, изотопическому спину и цвету — см. Дополнение), являются слоями. Слои можно представить как сферы, «прикрепленные» к каждой точке базы. Векторы состояний вращаются внутри сфер-слоев в соответствии с правилами квантовой механики.
Вообще говоря, нет априорных правил выбора этих слоев, и в частности их размерности. Видимое отсутствие этих правил отражает известный произвол в выборе квантовых чисел частиц — переносчиков взаимодействия. Поэтому на первый взгляд выбор этих квантовых чисел и масс частиц-переносчиков является лотереей, в которой выигрыш — счастливая случайность. Такой подход можно назвать феноменологических в том смысле, что в нем отсутствует руководящий принцип, ограничивающий выбор частиц-переносчиков. Однако сейчас господствует убеждение, что такой принцип существует. Это принцип калибровочной инвариантности, и его изложению и геометрической интерпретации будет посвящена значительная часть книги.
Пока же мы ограничимся замечанием, что выбор общей группы и является одной из трех проблем объединения взаимодействия. Наконец, последняя из перечисленных проблем, решение которых необходимо для создания объединенной теории взаимодействия, — устранение бесконечностей из результатов вычислений. Желательно, чтобы эти бесконечности отсутствовали бы и в промежуточных выкладках, однако необходимое условие замкнутости теории — отсутствие бесконечностей в окончательных результатах (перенормируемость теории). Сравнительно недавно существовала лишь одна перенормируемая теория — квантовая электродинамика. Объединение слабого и электромагнитного взаимодействия (теория Глешоу-Вайнберга-Салама) привело к тому, что рассматриваемая изолированно неперенормируемая теория слабого взаимодействия оказалась лишь частью целого красивой, перенормируемой теории электрослабого взаимодействия. Удалось построить такую теорию, что бесконечности скомпенсировали друг друга; в результате получились конечные результаты, превосходно согласующиеся с экспериментом.
Квантовая гравитация — существенно неперенормируемая теория. Можно сказать, что это свойство гравитации глубоко внутренне присуще ей. Естественный путь преодоления этого дефекта видится в построении теории, объединяющей все четыре взаимодействия — супергравитации, когда бесконечности, существующие в каждой изолированной теории, скомпенсируются. На этом пути есть определенные достижения, но расстояние до окончательной цели — построения полностью перенормируемой супергравитации — кажется еще весьма большим.
7. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
ОСНОВНОЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
В предыдущем разделе мы сформулировали три основополагающих принципа построения объединенной теории. Однако первый (требование единства константы) и третий (устранение бесконечностей) принципы имеют ясно очерченный алгебраический характер (единое число, конечность теоретических выражений), то второй — единый тип симметрии кажется менее определенным. В самом деле, симметрий, воплощенных в теорию групп, бесконечно много, и совершенно не очевидно, чем следует руководствоваться при их выборе. Правда, ясны общие принципы, связанные с симметрией наблюдаемого 4-пространства Минковского (изотропия и однородность). Эти пространственные симметрии являются, как известно, первопричиной основных законов сохранения: закона сохранения энергии-импульса, закона сохранения момента импульса и инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Однако пространственно-временной симметрии и обусловленных ею законов сохранения совершенно недостаточно для обнаружения руководящей нити в безбрежном море возможных симметрий.
