Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Можно сказать, что ответ на вопрос, будет ли узел бесконечным, зависит от числа вершин, через которые проходит нить на каждой стороне сетки. Узел 3 х 2 является бесконечным, так как образован одной нитью. Узел 3 х 3 не является бесконечным, так как состоит из трех нитей. Узел 6 x 4 также не является бесконечным и состоит из двух нитей.
В чем же ключ к решению задачи? Нить смещается влево, вправо, вверх и вниз. Если бы мы не ограничивались одним прямоугольником, а продолжили узел дальше по вертикали и по горизонтали, то смогли бы понять суть проблемы. Рассмотрим узел (3 х 2):
Мы начинаем с точки 1, затем, сместившись на две единицы вправо, попадаем в 3, затем в 2 и наконец снова в 1. Получается числовая последовательность, которая циклически повторяется до бесконечности:
[1, 3, 2] = 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1…
На сетке размером (4 х 2) требуется два таких цикла:
В первом случае мы перепрыгиваем через две клетки. Полный цикл завершается после шести шагов, когда мы возвращаемся в исходную точку 1. Мы обошли все цифры 1, 2 и 3. Во втором случае для обхода всех цифр требуется два цикла:
Почему? Потому что 4 делится на 2. Если мы начинаем цикл в точке 1, то мы всегда будем проходить через точки 1 и 3 и никогда — через 2 и 4. Для этого потребуется новый цикл с началом в точке 2. В предыдущем случае цикл завершается после 6 = НОК (3, 2) этапов, и требуется всего один цикл, так как НОД (3, 2) = 1.
Это же происходит и в примере с сеткой 6 x 4, где НОД (6, 4) = 2 цикла, и на сетке 3 х 3, где число циклов равно 3 = НОД (3, 3). Подведем итог.
Теорема: На сетке размером (m, n) число циклов равно НОД (m, n).
Следствие 1: Если m и n — взаимно простые, то на сетке (m, n) имеется единственный бесконечный цикл.
Следствие 2: На сетке размером (m, n) число петель равняется 2 х (m + n).
Задача садовника: равносторонний треугольник как частный случай равнобедренного
При посадке деревьев в шахматном порядке саженцы располагаются в вершинах воображаемых равносторонних треугольников — это гарантирует, что все деревья будут располагаться друг от друга на одинаковом расстоянии:
Если математику дать задачу о построении подобной сетки с треугольными ячейками, он, скорее всего, начнет искать способ построения равносторонних треугольников, применимый на практике, и буквально со стопроцентной вероятностью предложит евклидово решение, приведенное в предложении 1 книги I «Начал».
Предложение 1 из «Начал» Евклида: построение равностороннего треугольника на данном отрезке АВ.
Для этого построения нужно заменить циркуль веревкой, длина которой равна длине стороны искомого треугольника. Садовод должен обходить участок, проводя дуги окружностей и отмечая точки их пересечения.
Сначала он отметит точки на одной прямой, равноудаленные друг от друга:
Затем, использовав каждую из этих точек в качестве центра окружности, он проведет дуги, которые пересекутся в вершинах равносторонних треугольников:
В результате садовод определит, где нужно посадить деревья.
Так эту задачу решил бы математик. Однако, согласно Жиль-Альберу (1999), садоводы строят сетку из треугольных ячеек следующим образом:
«Посадка в шахматном порядке <…>. Чтобы определить, где следует сажать деревья, достаточно, чтобы один рабочий взял в руки рулетку и встал там, где нужно посадить первое дерево. Второй рабочий, взяв в руки конец рулетки, должен отойти на расстояние, равное желаемому расстоянию между деревьями (например, 5 м) и отмотать ленту длиной в два раза больше чем требуется (если деревья планируется посадить на расстоянии 5 м друг от друга, рабочий должен отмотать 10 м ленты рулетки). Третий рабочий должен взяться за середину ленты рулетки и отойти в сторону, натягивая ленту. Когда лента рулетки натянется полностью, третий рабочий окажется точно в том месте, где нужно посадить третье дерево».
Здесь равносторонний треугольник понимается как частный случай равнобедренного. Именно на этом примере можно оценить справедливость фразы: теоретическое решение практической задачи обычно является не лучшим практическим решением. Вот и в этом случае решение, предложенное профессиональным математиком, на практике не применяется. С математической точки зрения, напротив, практика не имеет значения. Не имеет значения и то, что в практическом решении равносторонний треугольник понимается иначе — для математика это не новость.
Тем не менее практически решил эту задачу не математик, а садовод. И практическое решение математической задачи — это результат математического творчества.
Задача лесничего: треть того, что мы видим, — вовсе не треть того, на что мы смотрим
При обрезке деревьев обычно удаляются ветви нижней его трети, и лесничему нужно на глаз определить эту часть дерева. Является ли треть того, что мы видим, третьей частью того, на что мы смотрим? Как правило, это не так:
Визуальное и реальное деление предмета на три части совпадают, только когда мы рассматриваем дугу окружности, находясь в ее центре. Как же лесничий решит задачу? Как визуально определить треть предмета, на который он смотрит?
Чаще всего точная высота дерева нам неизвестна. Если А1 — угол зрения, под которым можно увидеть все дерево, а — уровень глаз, d — расстояние до основания дерева, то угол А3 определяющий нижнюю треть дерева, вычисляется по формуле:
В чем заключается суть вопроса? В том, что видимая величина угла меняется в зависимости от точки, из которой мы смотрим на него. Видимая середина отрезка будет соответствовать его истинной середине только в том случае, если мы будем находиться на серединном перпендикуляре к этому отрезку:
При делении отрезка на три части подобная ситуация невозможна. Если бы она была возможна, то существовала бы точка X плоскости, такая, что при взгляде из нее трети Р1Р2, Р2Р3 и P3P4 отрезка Р1Р4 были бы видны под одним и тем же углом (см. рисунок ниже). Следовательно, так как из точки X можно было бы увидеть под одним и тем же углом две половины P1P3 точка X должна была бы располагаться на серединном перпендикуляре к отрезку P1P3 (то есть на прямой, проходящей через Р2 и перпендикулярной P1P3). Это же было бы справедливо для серединного перпендикуляра к отрезку Р2Р4 (прямой, проходящей через Р3 и перпендикулярной Р2Р4). Таким образом, точка X должна была бы располагаться одновременно на двух серединных перпендикулярах, которые параллельны между собой, так как они перпендикулярны одному и тому же отрезку P1P4, что невозможно:
За исключением случая, когда мы смотрим на дугу окружности, находясь в ее центре, треть того, что мы видим, — вовсе не треть того, на что мы смотрим.
Предупреждение для бухгалтера: округленная сумма значений не равна сумме округленных значений
Округление чисел выполняется по следующим правилам: если последний знак десятичной записи числа меньше 5, этот знак заменяется на 0, если же последний знак больше 5, то предыдущий знак увеличивается на единицу:
2,34 ~= 2,3;
2,37 ~= 2,4.
Ошибки округления в одну десятую, сотую или тысячную при работе с большими числами могут быть значительными. Если ошибка в одну сотую евро повторится на 300 миллионах счетов, общее расхождение составит 3 миллиона евро. В бухгалтерском учете подобное недопустимо. При составлении балансов даже сотые доли евро могут повлиять на итоговое значение округленной величины:
Имеем теорему:
Округленная сумма значений не равна сумме округленных значений.
Это утверждение можно подтвердить с помощью следующих таблиц:
Обратите внимание, с какой частотой в таблицах фигурируют числа 0, 1 и 2:
Почему мы не можем определить операцию округления так, чтобы 0, 1 и 2 распределялись более равномерно? Например, так, чтобы каждое из этих чисел фигурировало в таблице примерно в 33,3 % случаев. Эта ситуация представлена ниже: 0, 1 и 2 в таблице встречаются 33, 34 и 33 раза соответственно:
