Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
* * *
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
Многочлен — это выражение, в котором присутствует переменная, возведенная в различные степени с натуральным показателем. Числа, на которые умножается переменная в этих степенях, называются коэффициентами. Например, следующий многочлен
Р(х) = х5 — 4х3 + 3х2/2 -6
имеет рациональные коэффициенты, а именно 1, -4, 3/2 и -6. Число а называется корнем многочлена, если при этом значении переменной многочлен обращается в ноль: Р(а) = 0. Число а = 2 является корнем вышеприведенного многочлена. Число называется трансцендентным, если не существует многочлена с рациональными коэффициентами, корнем которого оно бы являлось. Иными словами, нельзя записать уравнение со степенями с натуральным показателем, решением которого будет трансцендентное число. Иррациональность числа √2 была доказана еще в Древней Греции. Об иррациональности числа я математики подозревали давно, однако доказательство этому было найдено лишь в 1761 году благодаря усилиям Иоганна Ламберта. В 1882 году Линдеман доказал, что я является трансцендентным числом. Как следствие, была окончательно доказана невозможность решения задачи о квадратуре круга. Число е (е = 2,71828182845904…) названо так по первой букве фамилии одного из величайших математиков всех времен — Леонарда Эйлера (1707–1783). Так же как и π, е является иррациональным и трансцендентным.
* * *
Натуральные числа столь близки нам, что многие считали их божественным творением. Можно сказать, что нечто столь совершенное не имеет изъянов и что любая теорема о натуральных числах в итоге обязательно должна быть либо доказана, либо опровергнута. Любое утверждение в системе натуральных чисел обязательно является либо истинным, либо ложным.
Однако математик Курт Гёдель (1906–1978) доказал, что это не так, что существуют недоказуемые теоремы о натуральных числах, то есть о них нельзя сказать, истинны они или ложны. Согласно так называемой теореме Геделя о неполноте натуральные числа также содержат парадоксы.
* * *
ПАРАДОКСЫ
Парадокс — это рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Рекурсия в языке порой становится причиной парадоксов, в частности, как в двух первых случаях из числа представленных ниже. Третий случай является удивительным примером математической задачи с тремя разными решениями.
1. Некий брадобрей бреет только тех, кто не бреется сам. Кто должен брить самого брадобрея?
2. Слово «гетерологичный» означает «неприменимый к самому себе». Является ли само слово «гетерологичный» гетерологичным словом?
3. Парадокс Бертрана. В окружности случайным образом проводится хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет превышать длину стороны равностороннего треугольника, вписанного в эту же окружность? Эту вероятность можно рассчитать тремя разными способами и получить три разных результата: 1/2, 1/3 и 1/4.
* * *
Как породить и приручить чудовищеНайти смысл и значение основных математических понятий всегда было творческой задачей. Существует множество простых уравнений, о которых говорят, что они не имеют решения, так как число, которое было бы их решением, не имеет смысла в наиболее часто используемой системе чисел.
В поле натуральных чисел, которые используются при счете, не имеет решения следующее уравнение, так как единственно возможное его решение не является натуральным числом:
2х = 1.
Однако это уравнение имеет решение в области дробных, то есть рациональных чисел:
Аналогично, очень простое уравнение
х2 = 2
не имеет решения в поле рациональных чисел. Именно с этой проблемой столкнулись древние греки. Однако им пришлось принять этот «чудовищный» результат, поскольку он являлся решением одной из простейших геометрических задач — задачи о нахождении диагонали квадрата единичной стороны.
Решение этого уравнения и этой задачи расширяет поле чисел так называемыми вещественными числами:
Можно подумать, что некоторые уравнения не имеют решений просто потому, что не существует чисел, которые описывали бы их решения, и, следовательно, решение имеет всякое уравнение. Суть проблемы в том, принадлежит решение этого уравнения к известным на данный момент числам или нет. Приведем еще один пример: мы говорим, что уравнение
х2 = —1
не имеет решения. Однако оно не имеет решения потому, что мы считаем х вещественным числом — конечной или бесконечной дробью, периодической либо нет.
Однако существует значение х, которое является решением этого уравнения, и выглядит оно «чудовищно»:
В середине XVI века Джероламо Кардано нашел формулу решения кубических уравнений, но, применив ее к уравнению х3 — 15х — 4 = 0, он столкнулся с проблемой. Нетрудно показать, что решением этого уравнения является х = 4. Однако решение, найденное по формуле Кардано, выглядело совершенно иначе:
Перед нами — еще одно «чудовище». Какой смысл имеет квадратный корень из отрицательного числа? Как соотносится подобное число с известным нам решением х = 4? Если мы примем квадратные корни из отрицательных чисел как числа, то какое значение они будут иметь?
Лишь в начале XIX века корни из отрицательных чисел получили свое значение: они стали составной частью комплексных чисел и им были поставлены в соответствие точки в декартовых координатах. Множество комплексных чисел, обозначаемое символом С, расширяет поле вещественных чисел. Комплексное число — это число, состоящее из двух частей: вещественной и мнимой. Мнимая часть представляет собой произведение вещественного числа на i — корень из минус единицы, также называемый мнимой единицей. Рассмотрим два комплексных числа, а и Ь:
i = √-1
a = 2 + 3i
b = 1/2 — i√5.
Чтобы представить число а = 2 + 3i в декартовой системе координат, нужно отложить две единицы вдоль оси абсцисс и три единицы — вдоль оси ординат. Полученная точка будет иметь координаты (2, 3). Однако мы изобразили не просто точку на координатной плоскости — в отличие от точек и векторов на плоскости, с комплексными числами можно выполнять все известные алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень и т. д., и эти вычисления аналогичны вычислениям с вещественными числами. Наконец, система комплексных чисел является полной, так как любое уравнение на поле комплексных чисел имеет решение на этом же поле, что не выполняется для других множеств.
После того как было описано представление комплексных чисел на плоскости, они стали играть определяющую роль при решении задач, не имеющих решения в поле вещественных чисел.
Симбиоз алгебры и геометрии
Изложенное в предыдущем разделе стало возможным благодаря великому математическому творению — симбиозу алгебры и геометрии, которым стала аналитическая геометрия, разработанная Декартом и Ферма. Некоторые математики античности пытались создать систему геометрического представления формул. Однако лишь усилиями Декарта алгебра и геометрия объединились навсегда.
Предметом алгебры являются формулы и уравнения, предметом геометрии — фигуры и пространство. В аналитической геометрии эти два мира сливаются воедино: для каждой фигуры существует описывающая ее формула, для каждой формулы — множество точек плоскости, удовлетворяющих ей. Так уравнения обретают геометрический смысл, что облегчает их наглядное представление.
Такой подход позволяет нанести решения уравнений на «математическую карту» — систему координат. Но при поиске доказательств аналитическая геометрия не всегда полезна, так как иногда чисто геометрическое доказательство формулируется красивее, короче и четче, чем аналитическое.
Уравнение 3х — у + 1 = 0 — это элемент алгебры, смысл которого состоит в вычислении двух чисел, х и у, удовлетворяющих этому равенству. Этому уравнению удовлетворяют различные пары чисел: х = 0, у = 1; х = 1, у = 4; х = —1; у = —2.
Аналитическая геометрия придает этим числам новый смысл благодаря количественному измерению пространства. Если речь идет о двумерной плоскости, на ней проводятся две прямые, соответствующие двум измерениям на плоскости, на которых откладываются вещественные числа. Из соображений удобства эти линии обычно перпендикулярны друг другу, хотя это необязательно. Далее значениям переменной х сопоставляются числа на одной оси, значениям переменной у — числа на другой оси. Обозначим на плоскости точки А, В и С, соответствующие трем парам вышеуказанных решений уравнения:
