Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Ответ. При x = πn/2 + 7π/24 ymax = √3/4 + ½.
24.3. Данную функцию можно записать в виде y = sin x cos x (cos² x − sin² x), после чего она легко преобразуется: 4y = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x.
Ответ. ¼.
24.4. Запишем данное выражение в виде (x + y + 1)² + (x − 2)² − 3. Оно будет иметь наименьшее значение, если одновременно x − 2 = 0 и x + y + 1 = 0.
Ответ. −3 при x = 2.
24.5. Точки ±1 и ±2 разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение y.
1. Если x ≤ −2, то y = x² − 1 + x² − 4 − x − 2 − x − 1 = 2x² − 2x − 8.
Абсцисса вершины параболы y = 2x² − 2x − 8 равна x = −b/2a = ½,
т. е. при x ≤ 2 мы находимся левее вершины, функция y на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: x = −2, y = 4.
2. Если[23] −2 ≤ x ≤ −1, то легко проверить, что y = 4.
3. Если −1 ≤ x ≤ 1, то y = −2x² + 2x + 8.
Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при x = −1 мы уже видели, что y = 4; при x = 1, y = 8.
4. Если 1 ≤ x ≤ 2, то y = 2x + 6. Наименьшим будет значение в точке x = 1.
5. Если x ≥ 2, то y = 2x² + 2x − 2.
Абсцисса вершины этой параболы x = −½; она лежит левее точки x = 2. Следовательно, наименьшее значение достигается при x = 2, т. е. y = 10.
Ответ. ymin = 4 при −2 ≤ x ≤ −1.
24.6. Заменим a/x на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a/7x. К функции
x7 + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x
применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим Равенство достигается при
Ответ.
24.7. Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2R(sin x + sin y) = 4R sin [π − α/2] cos [x − y/2].
Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [x − y/2] = 1, т. е. при x − y = 0. Так как x + y = π − α, то x = π/2 − α/2. Следовательно,
AB = ВС = 2R sin x = 2R cos α/2.
Ответ. 2R cos α/2.
24 . 8 . Если катеты основания обозначить через а и b, то боковая поверхность призмы равна
Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b:
Мы получили монотонную функцию от а + b. Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b. Поскольку а + b ≥ 2√ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.
Ответ. 2.
24.9. Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально−симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально−симметричная ей точка многоугольника.
Обозначим через α угол AOK. Тогда По теореме синусов
Чтобы задача имела решение, должно быть OQ ≥ OK, т. е. sin (30° + α) ≤ sin α. Так как угол а больше угла BOA, то α ≥ 60°. Кроме того, можно считать, что α ≤ 90°, т. е. 60° ≤ α ≤ 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие
sin (30° + α) ≤ sin α,
необходимо и достаточно, чтобы 75° ≤ α ≤ 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением α диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, α нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. α = 75°. Тогда , а сторона квадрата равна KO √2.
Ответ.
24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения
равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 − 4у)² − 4у(6у − 2) ≥ 0, т. е. 8у² + 16у − 9 ≤ 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых −1 − √34/4 ≤ y ≤ −1 + √34/4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.
Ответ. √34/4 − 1.
24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:
аbс = 7,2, аb + ас + bс ≤ 12, а + b ≥ 5.
Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b ≥ 5:
аb + ас + bс = аb + с(а + b) ≥ аb + 5с,
т. е. аb + 5с ≤ 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b ≤ 5. Поскольку одновременно а + b ≥ 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.
Ответ. 2, 3, 6/5.
24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:
Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку
|sin (α + x) sin (α − x)| = ½|cos 2x − cos 2α|,
то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = −1, если cos 2α ≥ 0, 0 < α ≤ π/4, и при cos 2x = 1, если cos 2α < 0, π/4 < α < π/2.
В первом случае x = π(2k + 1)/2, во втором x = πk. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < α ≤ π/4 наибольшее значение функции равно 2 tg² α, а при π/4 < α < π/2 равно 2 ctg² α.
Ответ. 2 tg² α при 0 < α ≤ π/4, 2 ctg² α при π/4 < α < π/2·
24.13. Введем обозначения: arcsin x = α, arccos x = β. Поскольку α + β = π/2, то
α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = π³/8 − 3π/2αβ.
Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения αβ. Так как β ≥ 0, то наибольшее значение αβ следует искать при α > 0. В этом случае (α > 0, β > 0) можно записать, что
αβ ≤ (α + β/2)² = π²/16.
Наибольшее значение αβ достигается при α = β = π/4. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = 1/√2 и равно
π³/8 − 3π³/32 = π³/32.
Наименьшее значение произведения αβ, где β ≥ 0, достигается при условии, что α < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины α и β были наибольшими. При x = −1 будет α = −π/2, β = π. Именно в этой точке произведение αβ достигает минимума, так как α принимает минимальное, а β — максимальное из возможных значений. Итак, при x = −1 исходная функция имеет наибольшее значение
