Альберт Рывкин - Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Таким образом,
Мk + 1 = Мk + m + k + 1.
Так как Мо = m + 1, то
Остается доказать эту формулу методом математической индукции, что сводится к элементарным выкладкам, которые мы оставляем читателю.
Ответ.
Глава 22
Обратные тригонометрические функции
22.1. Введем обозначения:
В этих обозначениях равенство примет вид
2α = π/4 − β,
причем правая и левая части лежат в интервале (0, π/2). Возьмем тангенсы от каждой из частей:
Так как тангенс является монотонной функцией в интервале (0, π/2), то равенство доказано.
22.2. Пусть
Так как 0 < α + β < π/2 и
Наше выражение принимает теперь вид
π/4 + arcsin √2/4.
Поскольку arcsin √2/4 > arcsin √2/2, то
0 < π/4 + γ < π/2,
где γ = arcsin √2/4 и sin γ = √2/4. Найдем
Поскольку мы оказались в интервале монотонности синуса, то остается воспользоваться определением арксинуса.
Ответ. arcsin [√7 + 1/4].
22.3. Рассмотрим сначала первое и третье слагаемые:
arctg (−2) = α, tg α = −2, −π/2 < α < 0;
arctg (−⅓) = β, tg β = −⅓, −π/2 < β < 0.
Таким образом, −π < α + β < 0, что не является областью главных значений какой−нибудь обратной тригонометрической функции. Поэтому прибавим ко всем частям неравенства π: 0 < π + α + β < π. Теперь π + α + β попадет в область значений арккотангенса, что обеспечивает взаимно однозначный переход к обратным функциям. Найдем
Следовательно,
π + α + β = arcctg (−1/7), т. е. α + β = −arcctg 1/7.
Наше выражение равно arcsin ⅓ − arcctg 1/7. Пусть
arcsin ⅓ = γ, sin γ = ⅓, 0 < γ < π/2;
arcctg 1/7 = δ, ctg δ = 1/7, 0 < δ < π/2.
Так как −π/2 < γ − δ < π/2, что является интервалом значений арксинуса, то вычислим синус от γ − δ:
sin (γ − δ) = sin γ cos δ − cos γ sin δ.
Так как
cos γ = 2√2/3, cos δ = 1/5√2, sin δ = 7/5√2,
то
Ответ. arcsin √2 − 28/30.
22.4. Сумма существует при 0 ≤ x ≤ 1. Введем обозначения и используем определение арксинуса:
Так как сумма α + β лежит в интервале [0, π], который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между α + β и cos (α + β) при условии, что 0 ≤ x ≤ 1. Так как
то α + β = π/2.
Ответ. π/2 при 0 ≤ x ≤ 1.
22.5. Оценим φ = π(x² + x − 3), если 0 ≤ x ≤ √3 − 1/2.
Имеем
Следовательно,
где 0 ≤ 3π/2 − 4π − φ ≤ π/2. Окончательно получаем
arccos sin φ = π − 3π/2 + 4π + φ = 7π/2 + φ.
Ответ. 7π/2 + π(x² + x − 3).
22.6. При 0 ≤ x ≤ 1 оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем
Следовательно,
и, тем более,
Введем обозначение
arcsin x = α, sin α = x, 0 ≤ α ≤ π/2;
Нужно доказать, что α − β = π/4, или α − π/4 = β. Так как −π/4 ≤ α − π/4 ≤ π/4, то α − π/4 и β лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку
(перед корнем взят знак плюс, так как cos α ≥ 0 при 0 ≤ α ≤ π/2).
Итак, доказано, что sin (α − π/4) = sin β, откуда следует справедливость нашего равенства.
22.7. Так как x < −1, то −1 < 2x/1 + x² < 0. Введем обозначения
Следовательно,
−3π/2 < α + 2β < −π/2,
т. е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем
После подстановки получим
т. е. α + 2β = −π.
Ответ. −π.
22.8. Из уравнения следует, что
arcsin x = π/12 + nπ/3.
Поскольку −π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, то возможны лишь три значения n = 0, −1, 1.
Если n = 0, то arcsin x = π/12,
Если n = −1, то arcsin x = −π/4,
x2 = sin (−π/4) = −1/√2.
Если n = 1, то arcsin x = 5π/12,
Ответ.
22.9. Если x — корень данного уравнения, то и −x будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если x ≥ 0, то
Перенеся α в правую часть уравнения, получим β = γ − α, причем 0 ≤ β ≤ π/2 и −π/2 ≤ γ − α ≤ π/2. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:
sin β = sin (γ − α).
Последнее уравнение можно записать в виде
добавив к нему условие |4x/5| ≤ 1, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем x1 = 0.
Остается а после возведения в квадрат
Делаем проверку иррационального уравнения.
Ответ. ±1, 0.
22.10. Из условия следует, что x > 0. В таком случае
Уравнение примет вид α + β = π/3, и обе его части окажутся в интервале (0, π], который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение
cos (α + β) = cos π/3
равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя тригонометрические функции α и β их выражениями через x, придем к уравнению
После возведения в квадрат получим
4(1 − 4x²)(1 − x²) = (4x² + 1)².
При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из−за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие |2x| ≤ 1.
Уравнение 28х² − 3 = 0, к которому сводится последнее, имеет корни Из них следует выбрать первый, так как он положителен и так как
Ответ.
22.11. Обозначим
arctg (2 + cos x) = α, arctg (2 cos² x/2) = β.
Так как 2 + cos x > 0 и 2 cos² x/2 > 0, то 0 < α < π/2 и 0 ≤ β < π/2.
Уравнение принимает вид α − β = π/4, причем
−π/2 < α − β < π/2 и −π/2 < π/4 < π/2.
Так как (−π/2, π/2) — интервал монотонности тангенса, то уравнение α − β = π/4 равносильно уравнению tg (α − β) = tg π/4.
Переходя к уравнению
мы можем потерять те корни, для которых tg α или tg β не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку
tg α = 2 + cos x, tg β = 2 cos² x/2,
а правые части существуют всегда. Получаем уравнение
которое после преобразований принимает вид
2 cos4 x/2 + cos² x/2 = 0.
Так как уравнение 2 cos² x + 1 = 0 не имеет решений, то остается cos x = 0.
Ответ. π(2n + 1).
22.12. Пусть
Так как −π/2 < α − β ≤ π/2, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:
sin (α − β) = sin γ
или
После упрощений получим уравнение
имеющее единственный корень x = ⅔. Делаем проверку и убеждаемся, что x = ⅔ является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.
Ответ. ⅔.
22.13. Введем обозначения
Наше уравнение принимает вид α + β + γ = δ или α + β = δ − γ. Обе части уравнения лежат в интервале (−π, π). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это — единственное значение из интервала (−π, π), в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство α + β = δ − γ = 0. Если α + β = 0, то arctg (1 − x) = arctg x, откуда 1 − x = x и x = ½. При x = 1 получим, что δ − γ = arctg 3/2 − arctg 3/2 = 0. Таким образом, x1 = ½ — корень уравнения. Если α + β ≠ 0, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:
