Юрий Петров - Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив
(20)
а при ε < 0 устойчивость сохраняется. Исключение переменных х и х из уравнения (10), (12), (13) при правильном учете реальных связей между «дрейфом» параметров в технической системе является примером эквивалентного преобразования, изменяющего свойство сохранения устойчивости при дрейфе параметров.
Формула (19) раскрывает еще одно опаснейшее и очень коварное свойство технических объектов, спроектированных по привычным методикам, без учета новых явлений, открытых в СПбГУ: при изготовлении любого технического устройства малые отклонения реальных параметров (а значит, и коэффициентов математической модели) от расчетных значений неизбежны, но знак этих отклонений не предсказуем. Вполне может оказаться, что реальная величина параметра будет меньше расчетной, т.е. окажется, что ε < 0. Тогда изготовленное устройство окажется устойчивым и нормально работающим. Оно будет иметь малый запас устойчивости — но на испытаниях реального устройства запас устойчивости проверить чаще всего невозможно (обычно рекомендуемое «покачивание параметров» редко помогает — о причинах этого подробно рассказано в [2]). Поэтому изготовленное устройство будет признано хорошим и может быть установлено, например, на самолете как одна из его многочисленных систем. Устройство будет исправно работать не предсказуемое заранее время — до тех пор, пока при неизбежном в ходе эксплуатации «дрейфе» параметров устройство потеряет устойчивость, «пойдет в разнос» и вызовет аварию, которая может перерасти в катастрофу, с гибелью пассажиров и экипажа.
Подобные аварии происходят не каждый день, а несколько реже только потому, что «особые» системы и устройства, для которых привычные методы расчета дают неверные данные о запасах устойчивости, встречаются не очень часто. Но мириться с авариями нельзя, а предотвращать их можно только проверкой технической документации самолетов на основе методов, разработанных в СПбГУ и «Военмехе».
Формулы (19) и (20) иллюстрируют основные черты аварий, произошедших именно по причине неполноты привычных методов расчета, о которых уже говорилось в параграфе 8: благодаря наличию быстро растущего члена (20) в переходном процессе, авария развивается очень быстро; если же она не привела к гибели самолета, то через некоторое время малый «дрейф» параметров может привести к тому, что малое ε > 0 превратится в малое ε < 0 и устройство снова будет работать нормально (хотя малый запас устойчивости сохранится). Мы убеждаемся, что это те самые особенности, которые проявились у аварий над Междуреченском и Бухарестом, о которых говорилось в параграфе 8.
Мы убеждаемся, что научное исследование разъясняет загадочные особенности аварий, ранее казавшиеся очень странными. Заметим, что при исключении части переменных (широко используемом при «аналитическом конструировании» регуляторов) выход системы на границу устойчивости происходит при любых значениях коэффициентов. Это объясняет, почему в 60-е годы аварии с «аналитически сконструированными» регуляторами происходили так часто. Затем структуру регуляторов изменили и аварии стали реже, но не прекратились совсем. Для полного прекращения опасных аварий, связанных с неполнотой привычных методов расчета, нужно использовать дополнительные проверки, описанные в книгах [1], [2], [7].
§ 11. Существуют ли в математике предрассудки?
Математика считается точной и доказательной наукой, которая опирается на обоснованные определения и строгие доказательства. Поэтому ее теоремы считаются безусловно верными и не подлежащими сомнению. Предрассудкам (т. е. привычным, но ложным представлениям) в математике, конечно, не место. Однако проведем научное расследование.
Одной из важнейших теорем математики является теорема о непрерывной зависимости решений систем дифференциальных уравнений от их коэффициентов и параметров. Эта теорема лежит в основе всех инженерных расчетов. Действительно, если непрерывной зависимости решений от коэффициентов и параметров нет, то мы не можем быть уверены в том, что даже сколь угодно малые и поэтому неизбежные на практике отклонения действительных параметров рассчитываемого объекта от расчетных значений не приведут к коренным расхождениям между результатом расчета и реальностью, не можем быть уверены, например, в том, что здание, по расчету обязанное стоять долгие годы (как аквапарк «Трансвааль»), неожиданно не обрушится на головы посетителей. Поскольку данная теорема математиками считается доказанной, инженеры верят математикам и опираются на нее в своих расчетах как на незыблемую скалу.
Однако рассмотрим следующую систему двух дифференциальных уравнений
(21)
Эта система, как уже говорилось в предыдущем разделе, описывает процессы в системе, состоящей из электропривода постоянного тока и регулятора с постоянными коэффициентами. Характеристический полином этой системы равен определителю (19), а мы уже убедились в параграфе 10, что в точке т = 1 характер корней характеристического полинома и характер решений системы резко меняются. Если т = 1 + є , где ε — малое число и ε < 0 , то в решении присутствуют только экспоненциально убывающие члены, если же малое в > 0, то в решении появляются стремительно растущие члены вида (20). Непрерывной зависимости решений от параметра т у системы (21) нет. При т = 1 эта зависимость терпит разрыв. Отметим, что подобных систем дифференциальных уравнений, не имеющих непрерывной зависимости решений от коэффициентов и параметров, довольно много. Примеры приведены в книге [2].
Из этих примеров следует, что одна из важнейших математических теорем не верна. Может ли такое быть? Многие математики заявляли — нет, такого быть не может! Теорема приводится во многих авторитетных учебниках, не могут все они ошибаться.
Да, теорема о непрерывной зависимости решений от параметров приведена — и причем с доказательством — во многих университетских учебниках. Примеры:
1. В учебнике для университетов: Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., ГИТТЛ, 1953, 468 с., эта теорема рассмотрена на стр. 298—307.
2. В учебнике: Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Высшая школа, 1967, 564 с., теорема рассмотрена на стр. 259—267.
3. В учебнике: Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1975, 239 с., теорема рассмотрена на стр. 186—204.
4. В учебнике: Матвеев Н. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения, СПб., Специальная литература, 1996, 371 с., теорема рассмотрена на стр. 313—316.
Но — обратите особое внимание — во всех учебниках она доказана лишь для двух частных случаев: для системы из n уравнений первого порядка и для одного уравнения n -ого порядка. Для всех других многочисленных систем — как, например, для системы (21), которая состоит из уравнения третьего порядка для переменной X1 и уравнения первого порядка для х2 — теорема не доказана. Да, почти любую систему, состоящую из уравнений различных порядков, можно путем эквивалентных преобразований свести к системе из n уравнений первого порядка, для которой теорема доказана. Но для того, чтобы из этого вытекала верность теоремы для всех систем, необходимо доказать, что эквивалентные преобразования не меняют никаких свойств решений. А этого никто и никогда не доказывал (и не мог доказать — в книгах [1], [2] , [3] приводились все новые и новые примеры того, как эквивалентные преобразования меняли все новые и новые свойства решений — надо лишь внимательно исследовать; ищите и найдете).
Таким образом, мы убеждаемся, что одна из важнейших и известнейших математических теорем основана не на доказательстве, а на предрассудке — на привычном, но ложном убеждении большинства математиков в том, что эквивалентные преобразования якобы «ничего не меняют». Я опрашивал многих — и выпускников университетов, и их преподавателей: «как по-вашему — верна ли теорема о непрерывной зависимости для всех систем уравнений?» Все дружно отвечали: «да, верна. Верна потому, что для систем из n уравнений первого порядка в учебниках дано доказательство, а остальные системы приводятся к ним путем эквивалентных преобразований, которые «ничего не меняют»».
Мы убеждаемся, что предрассудки существуют и в математике, и предрассудки далеко не безобидные, поскольку они оказываются потом причиной многих техногенных катастроф с гибелью людей. И когда в книгах [1], [2], [3] опровергаются некоторые привычные положения и методики, то это не означает, что опровергаются какие-либо доказанные теоремы. Нет, они не опровергаются, а просто показывается необоснованность ставших привычными предрассудков. И в этом нет ничего страшного.
