Александр Филиппов - Многоликий солитон
Попробуем теперь разобраться, почему ручной солитон может двигаться. В опытах он обычно останавливается примерно на середине проволочки. Дело в том, что проволочка, во-первых, далеко не идеальная, а, во-вторых, слишком короткая. Неидеальность означает, что в ней всегда есть остаточные деформации, которые мешают солитону двигаться. Но даже если эти деформации очень малы, солитон отталкивается от краев и останавливается посредине. Само это доказывает, что он может двигаться, иначе бы он застревал где попало. На рис. 6.9 изображен кусок солитона, сдвинувшегося на расстояние α. Легко увидеть, что каждая точка проволоки при движении солитона (сама проволока закреплена неподвижно, бежит только «волна!») движется по нарисованным окружностям. В частности, точка с «координатой» s = 0 движется по окружности с центром в точке O. Это движение, однако, не равномерно, оно замедляется по мере приближения точки к оси Ох. Вы видите, что в движении ручного солитона проявляется замечательное сходство с волной на глубокой воде, в которой частички жидкости также движутся по окружностям!
Мы, однако, так и не ответили на вопрос, почему все-таки солитон будет двигаться, а не стоять на середине проволочки. Представьте себе, что проволочка бесконечна. Тогда все положения солитона на ней совершенно эквивалентны. Отсюда и следует, что он может медленно перемещаться, не меняя форму. В нашем же случае, когда проволочка имеет конечный размер, хорошо как раз то, что ручной солитон может находиться в покое и его можно хорошенько рассмотреть.
Можно также рассмотреть, что два солитона отталкиваются друг от друга, хотя процесс столкновения солитонов увидеть, скорее всего, невозможно. Зато на ручной модели солитона замечательно ясно видна его «неуничтожаемость», а также истинная природа сохранения «заряда» солитонов.
На бесконечной проволочке нельзя создать солитон (если проволочка остается в одной плоскости) и нельзя его уничтожить. Точно так же нельзя уничтожить, оставляя проволочку в одной плоскости, два и большее число солитонов (рис. 6.10, α: «протаскивание» проволочки под ней самой не требует вывода «бесконечно тонкой» проволочки из плоскости). Наоборот, пару из солитона и антисолитона (рис. 6.10, б) легко сделать и уничтожить, оставляя проволочку в одной плоскости. Легче это проверить, взяв кусок шпагата, который не сопротивляется изгибу. Если попробовать таким же способом «развязать» узелки, изображенные на рис. 6.10, α, то получится двойной узелок (рис. 6.10, в), который никакими ухищрениями нельзя «развязать», не выводя проволочку из плоскости. Подобные и более сложные узлы образуются, например, когда запутывается длинная леска на спиннинге. Те, кто сталкивался с такой неприятностью, знают, что для распутывания лески ее ни в коем случае нельзя тянуть, а надо терпеливо и аккуратно крутить узелки в трехмерном пространстве.
Все это дает право назвать ручной солитон топологическим, а определенный нами «солитонный заряд» естественно — топологическим зарядом. Как известно *), топология изучает свойства фигур, сохраняющихся при их непрерывных деформациях. С топологической точки зрения проволочка с узлами, изображенными на рис. 6.10, б, эквивалентна проволочке без узлов, а проволочка с узлами, показанными на рис. 6.10, α, не эквивалентна. Заряд солитонов, причина сохранения которого коренится в топологических свойствах солитонов, позволяет дать количественную характеристику этому соотношению эквивалентности. То же самое можно сказать и о других солитонах, описываемых уравнением Френкеля — Конторовой. Внешне они выглядят по-разному, но их математическое устройство одинаково. Одинакова, следовательно, и их топологическая сущность, нужно только уметь их сравнивать. Например, установив соответствие между углом наклона касательной к ручному солитону и углом отклонения маятников при их солитонном движении (длине дуги s соответствует в этом случае расстояние по оси, на которой подвешены маятники), мы можем полностью отождествить оба солитона, по крайней мере, в состоянии покоя.
*) См., например, книгу: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — Библиотечка «Квант», вып. 21.
Магнитные солитоны
Солитоны, очень похожие на дислокации, можно найти в очень многих физических системах. О некоторых из них будет коротко рассказано в самом конце книги, а здесь стоит сказать несколько слов о магнитных солитонах. Они изучались сначала независимо от дислокаций, и их родство с дислокациями было замечено очень не скоро.
Речь идет о намагничивании ферромагнетиков, например, железа. Они намагничиваются с большой легкостью из-за того, что в них могут образовываться солитоны. Понять это можно на очень простой модели. Представим себе, что на рис. 6.6 вместо маятников вращаются магнитики. Они находятся не в поле силы тяжести, а в некотором «кристаллическом» поле, которое устроено так, что энергия отдельно взятого магнитика минимальна, когда он находится в вертикальном положении (т. е. φ = 0 или φ = π). Это поле аналогично полю окружающих атомов в случае дислокаций. Простейшая модель получится, если момент силы кристаллического поля, стремящегося выстроить магнитики, пропорциональна sin 2φ. Направления вверх и вниз называются направлениями легчайшего намагничивания. Обычно они связаны с осями симметрии кристаллической решетки.
Если соседние магнитики никак не связаны, то наш кристалл намагничивается только во внешнем магнитном поле. Для того чтобы он сохранил намагниченность при выключении поля, нужны еще силы между соседними магнитиками, подобные тем, которые создаются в механических моделях пружинками или резинками. Действие этих сил могло бы обеспечить удержание магнитиков в одном направлении, скажем, в верхнем. Природу таких сил удалось понять только после создания квантовой механики. Она была выяснена в 1928 г. Я. И. Френкелем и одним из творцов современной квантовой теории Вернером Гейзенбергом. Для понимания магнитного солитона разбираться в происхождении этих сил не нужно, достаточно знать, что в ферромагнетике они действуют наподобие пружин или резинок.
В результате магнитики проявляют сильно выраженный коллективизм. Скажем, если один из них находится между двумя другими, смотрящими вверх, то он тоже будет стремиться смотреть вверх. Коллективу магнитиков энергетически выгодно смотреть либо вверх, либо вниз. Однако мы забыли еще об одном обстоятельстве. Такой коллектив будет создавать свое собственное магнитное поле, и, помимо энергии взаимодействия магнитиков друг с другом и с кристаллическим полем, нужно учесть еще энергию этого поля. Полная энергия, т. е. энергия нашего коллектива вместе с энергией его магнитного поля, будет минимальной, если коллектив разобьется на группы. В одних члены группы смотрят вниз, а в других — вверх. Эти группы называются доменами (от фр. domaine — область).
Границы между доменами, в которых индивидуальные магнитики постепенно меняют направление ориентации с верхнего на нижнее, называются доменными стенками. Они-то и являются магнитными солитонами, совершенно подобными дислокациям и механическим солитонам. Как и дислокации, доменные стенки могут свободно перемещаться по кристаллу, если, конечно, им не мешают несовершенства кристаллической решетки или другие доменные стенки. Ненамагниченный кристалл состоит из большого числа доменов, направления намагниченности которых противоположны. Если поместить кристалл в магнитное поле, то стенки приходят в движение. В результате размеры доменов, магнитики которых направлены вдоль поля, увеличатся, а размеры остальных соответственно уменьшатся. При выключении поля стенки двигаются назад, но если их движению что-то мешает, то возникает «остаточная намагниченность». Это настолько похоже на описанный выше механизм пластической деформации, что термины «мягкое» и «жесткое» (магнитно) железо должны быть понятны сами собой.
Чтобы оценить число и размеры доменов в ненамагниченном, мягком железе, надо знать величины магнитной энергии и энергии доменной стенки. Для оценок достаточно знать, что объемная плотность магнитной энергии полностью намагниченного однородного кристалла равна примерно 0,1 Дж/см3, а поверхностная плотность энергии доменной стенки — примерно 10-7 Дж/см2. Полная энергия будет минимальной, когда магнитная энергия каждого домена и энергия его стенок будут примерно равными. Если взять кубик объемом примерно 1 см3 , то легко видеть, что это осуществится, когда он разбит примерно на тысячу плоских доменов. Тогда энергия всех стенок и энергия магнитного поля равны примерно 10-4 Дж. Один домен распространяется на несколько десятков тысяч межатомных расстояний, а ширина доменной стенки в несколько сот раз больше размера атомов (т. е. порядка 10-5 см) *). Таким образом, расстояния между стенками достаточно велики и толщина их также заметно больше размеров дислокаций. Поэтому наблюдать доменные стенки несколько легче.
