Александр Филиппов - Многоликий солитон
Если это не вполне понятно, нужно вспомнить начало предыдущей главы, где описаны колебания системы из двух и трех грузиков, соединенных пружинками. Эти колебания соответствуют стоячим волнам сплошной резинки (рис. 5.4 и 5.5), но только нельзя рассматривать волны с длиной, меньшей 2α. Более точное описание дефекта по Френкелю можно найти с помощью исходного уравнения (6.1). Если пружины очень мягкие, т. е. если kα f0, то существует равновесное состояние, в котором один из атомов смещен примерно на α, а все остальные смещены мало (попробуйте это проверить самостоятельно!). Это и есть дефект по Френкелю.
Раз уж мы вспомнили переход от цепочки атомов к сплошной среде, стоит написать, во что превратится при таком переходе основное уравнение (6.1). Как и при выводе уравнения Д'Аламбера, можно считать, что второй член в правой части перейдет в kα2y". Переходя от y(t, х) к φ(t, х) (вспомните вывод уравнений (6.4), (6.5), найдем в результате, что
Если ω0 = 0, то из этого уравнения получается уравнение Д'Аламбера.
К уравнению (6.11) приклеилось странное название — уравнение «синус-Гордона». Происхождение этого жаргонного наименования связано с тем, что при значениях φ, мало отличающихся от π, т. е. φ = π + ψ, где оно переходит в уравнение
Это, а если говорить совсем точно, несколько более общее уравнение было предложено в 1926 г. Э. Шрёдингером, О. Клейном, В. Гордоном и В. А. Фоком, и обычно физики для краткости называют его уравнением Клейна — Гордона. Подобное стремление к укорочению названий породило и сочетание «синус-Гордона».
На самом деле уравнение (6.12) было известно уже в прошлом веке и называлось уравнением струны в упругой среде (действие упругой среды на каждый кусочек струны описывается членом в правой части уравнения). Уравнение (6.11) также встречалось математикам в конце прошлого века. Оно появилось в связи с исследованиями по геометрии Лобачевского *) и было известно лишь геометрам. Достаточно полное изучение решений уравнения (6.11) было выполнено лишь в 1936 г. немецким математиком Р. Штойервальдом. Он нашел решения, соответствующие (на нашем с вами языке) одному солитону, двум солитонам и бризеру. Эти результаты до самого последнего времени были известны лишь немногим специалистам по геометрии и не оказали никакого влияния на развитие науки о солитонах. Для физики уравнение «синус-Гордона» было открыто Френкелем и Конторовой, и они же нашли его солитонное решение. Связать эти открытия с их именами естественно и справедливо, хотя наиболее удивительные свойства модели ФК были обнаружены позднее другими исследователями. Как сказал Больцман: «Еще почти никогда... не бывало, чтобы та самая голова, которая впервые натолкнулась на ту или иную новую идею, до конца исчерпала бы ее».
*) Любому решению этого уравнения соответствует некоторая поверхность, на которой выполняются аксиомы геометрии Лобачевского. Такие реализации геометрии Лобачевского сыграли основную роль в признании его идей.
Как увидеть дислокации?
Что, наконец, представляется нам затверделым и плот-
ным, то состоять из начал крючковатых должно не-
сомненно, сцепленных между собой наподобие веток
сплетенных.
Тит Лукреций КарВсякий знает, что металлы сами по себе довольно «мягкие» или, лучше сказать, пластичные. Речь идет о «совершенном» металле, который имеет простую, не искаженную примесями и дефектами кристаллическую структуру. Кристаллическая решетка большинства металлов построена из одинаковых «кубиков». Вдоль плоскостей этих «кубиков» кристалл легко можно сдвинуть. Если вы сложите стопкой монеты, то небольшим боковым усилием легко сдвинете ее. Точно так же легко сдвигается по некоторым плоскостям идеальный кристалл. Такой сдвиг происходит совсем легко, если приложенное усилие создает дислокации, которые бегут одна за другой. Вам не нужно сдвигать сразу много атомов, а достаточно образовать дислокацию, для чего требуется небольшое усилие. По этой причине чистые, правильные кристаллы многих металлов очень мягкие. Однако бывает, что куски одной и той же на вид проволоки гнутся совсем не одинаково. Эти куски одинаковы лишь внешне, а внутренняя структура у них совсем разная. Те, которые гнутся плохо, подверглись обработке: вероятно, их уже сгибали. Возможно, вы замечали, что проволоку часто легче согнуть, чем разогнуть. А причина тому — дислокации. При сгибании в кристалле неизбежно образуется большое число дислокаций. Расстояния между атомами при этом практически не изменяются, но кристалл в одних направлениях растягивается, а в других — сжимается. Обратимся к рис. 6.5: линии изображают, конечно, довольно схематично, правильные ряды атомов кристалла, а их обрывы — это дислокации.
Если при сгибании образуется очень много дислокаций, они начинают «мешать» друг другу. Точнее говоря, кристалл становится настолько несовершенным, что дислокации по нему уже не смогут распространяться свободно. Если вспомнить модель, с которой мы начинали, то можно сказать, что правильно чередующиеся ямки становятся довольно нерегулярными.
Образуются широкие холмы и овраги, за которые дислокации «зацепляются». Чтобы разогнуть кристалл, вам приходится перемещать уже огромные коллективы атомов, а не «передислоцировать» их небольшие группки. Вот и выходит, что разогнуть совсем не то, что согнуть! Между прочим, то же самое — образование большого числа перепутанных дислокаций и других дефектов — происходит при ковке металлов. Можно сильно уменьшить число дислокаций, которые образовались при сгибании и разгибании проволоки, если «отжечь» проволоку. После отжига она снова станет совсем мягкой. Вы можете удивить своих менее просвещенных друзей простым фокусом — «я пятаки могу ломать». Прокалите достаточно толстую проволоку в огне газовой горелки. Остыв, она останется мягкой, и из нее легко можно сделать кольцо на палец или браслет на запястье, в зависимости от толщины проволоки. Предложите затем доверчивому зрителю разогнуть это кольцо!..
Почему кольцо стало таким неподатливым? Дело в том, что при сильном нагревании дислокации «распутываются», атомы, в основном, становятся на свои места и проволока смягчается. После сгибания структура проволоки становится, как сказал Лукреций Кар, «крючковатой»...
Здесь могут возникнуть два вопроса. Во-первых, почему должны обязательно образовываться дислокации, а не просто дефекты по Френкелю? Во-вторых, можно ли увидеть сами дислокации, а не делать умозаключения об их существовании?
Попробуем сначала разобраться с первым вопросом. В реальных кристаллах на создание дислокации нужно затратить меньше энергии, чем на образование одного дефекта по Френкелю. Энергия покоящегося дефекта примерно равна kα2, а энергия покоящейся дислокации равна
Не приводя вывода этой формулы, напомним только, что m0 — это эффективная масса покоящейся дислокации. Энергию движущейся дислокации можно найти с помощью (6.7).
Теперь ясно, что если размер дислокации l0 много больше постоянной решетки α, то для создания одиночного дефекта Френкеля требуется примерно во столько же раз большее количество энергии, поскольку . Это дает ответ на первый вопрос.
Ответ на второй вопрос дали замечательные эксперименты, выполненные в Кавендишской и в других лабораториях лет тридцать назад. С помощью электронного микроскопа удалось буквально увидеть картину, изображенную на рис. 6.5. Больше того, удалось даже снять кинофильм с большим числом движущихся дислокаций, которые, по выражению первых его зрителей, «суетились, как мыши». Возможно, что внимательное изучение подобных фильмов позволило бы увидеть столкновения дислокаций и даже бризеры.
Замечательную модель кристалла, позволяющую увидеть дислокации невооруженным глазом, придумали Л. Брэгг и Дж. Най. В этой модели двумерный кристалл делается из мыльных пузырьков. Лучше всего прочесть саму работу Брэгга и Ная и посмотреть полученные ими фотографии дислокаций. Работа написана очень просто и занимательно, перевод ее на русский язык помещен в Приложении ко второму тому «Фейнмановских лекций по физике» (М.: Мир, 1966). Модель Брэгга — Ная описана также в «Опытах в домашней лаборатории». На рис. 77 этой книги можно ясно увидеть три френкелевских дислокации. Одна на средней фотографии и две на нижней. Чтобы их разглядеть, надо рассматривать плоскость страницы под малым углом, при этом должны быть ясно видны параллельные ряды «атомов». В месте расположения дислокаций эти линии «перебиваются», и ясно видна френкелевская структура дислокаций.
