Ричард Фейнман - 7. Физика сплошных сред
Интегрируя по времени, получаем
Заметьте, что 1А равно объему тора, поэтому плотность энергии и=U/(Объем магнитного материала), как мы показали, равна
Здесь выявляется одно интересное обстоятельство. Когда в обмотке течет переменный ток, то В в железе «ходит» по петле гистерезиса. А поскольку В — неоднозначная функция Я,
то интеграл ∫HdB по замкнутому циклу равен не нулю, а площади, заключенной внутри петли гистерезиса. Таким образом, за каждый цикл источник тока отдает некоторую энергию, равную площади петли гистерезиса. Это есть потери из электромагнитного цикла; энергия уходит на нагревание железа. Такие потери называются гистерезисными. Чтобы они были поменьше, петлю гистерезиса желательно сделать как можно уже. Один из способов уменьшить площадь петли — это максимально уменьшить поле в каждом цикле. Для меньших максимальных полей мы получаем гистерезисную кривую, подобную изображенной на фиг. 36.9.
Фиг. 36.9. Петля гистерезиса, не достигающая насыщения.
Кроме того, применяются особые материалы с очень узкой петлей. Чтобы получить это свойство, специально создано так называемое трансформаторное железо, которое представляет сплав железа с небольшой примесью кремния.
Когда петля гистерезиса очень мала, соотношение В и Н приближенно можно представлять в виде линейного уравнения. Обычно пишут
В=mН. (36.23)
Здесь постоянная m вовсе не магнитный момент, с которым мы встречались раньше. Она называется магнитной проницаемостью. (Иногда ее называют также относительной проницаемостью.) Типичная проницаемость обычных сортов железа равна нескольким тысячам. Однако существуют специальные сплавы, типа так называемого «супермаллоя», проницаемость которых может быть порядка миллиона.
Если в уравнении (36.21) мы воспользуемся приближением В=mН, то энергию индуктивности, имеющей форму тора, можно записать как
так что плотность энергии приближенно равна
Теперь мы можем выражение для энергии (36.24) положить равным энергии индуктивности LI2/2 и найти L. Получается
А воспользовавшись выражением (36.20) для отношения H/I, находим
Таким образом, индуктивность пропорциональна m. Если вам нужна индуктивность для таких устройств, как звуковые усилители, то желательно иметь материал, у которого связь между В и Н достаточно линейна. [Вы, должно быть, помните, что в гл. 50 (вып. 4) мы говорили о генерации гармоник в нелинейных системах.] Для таких задач уравнение (36.23) будет очень хорошим приближением. С другой стороны, если нужно генерировать гармоники, то используют индуктивности, ведущие себя в высшей степени нелинейно. При этом вы должны пользоваться сложной кривой Н—В и применять при вычислениях графические или численные методы.
В обычных «трансформаторах» на одном и том же торе, или сердечнике, из магнитного материала намотаны две катушки. (В больших трансформаторах сердечник для удобства делается прямоугольным.) При этом изменение тока в «первичной» обмотке вызывает изменение поля в сердечнике, которое индуцируется э.д.с. во «вторичной» обмотке. Поскольку поток через каждый виток обеих обмоток один и тот же, то величина отношения э.д.с. в этих двух обмотках такая же, как отношение числа витков в каждой из них. Напряжение, приложенное к первичной обмотке, преобразуется во вторичной в напряжение другой величины. А поскольку для создания требуемых изменений магнитного поля необходим определенный полный ток, то алгебраическая сумма токов в двух обмотках должна оставаться постоянной и равной требуемому «намагничивающему» току. При изменении напряжения изменяется и сила тока в обмотках, т. е. вместе с преобразованием напряжения происходит и преобразование тока.
§ 5. Электромагниты
Поговорим теперь о практической стороне дела, которая немного более сложна. Предположим, что мы имеем электромагнит стандартной формы, изображенный на фиг. 36.10.
Фиг. 36.10. Электромагнит.
Он состоит из С-образного железного ярма, на которое намотано много витков провода. Чему равно магнитное поле В в зазоре?
Если ширина зазора мала по сравнению со всеми другими размерами, то в качестве первого приближения мы можем считать, что линии В образуют замкнутые кривые так же, как это происходит и в обычном торе. Они выглядят примерно так, как показано на фиг. 36.11,а.
Фиг. 36.11. Поперечное сечение электромагнита.
Они стремятся вылезть из зазора, но если он узок, то эффект этот очень мал. Предположение о постоянстве потока В через любое поперечное сечение ярма будет довольно хорошим приближением. Если поперечное сечение ярма меняется равномерно и если мы пренебрежем любыми краевыми эффектами на зазоре или на углах, то можно говорить, что по всей окружности ярма В однородно.
Поле В в зазоре будет по величине тем же самым. Это следует из уравнений (36.16). Представьте себе замкнутую поверхность S (см. фиг. 36.11,б), одна грань которой находится в зазоре, а другая — в железе. Полный поток поля В через эту поверхность должен быть равен нулю. Обозначая через В1 величину поля в зазоре, а через B2 — величину поля в железе, мы видим, что
B1A1-В2А2=0,
а поскольку А1=А2, то отсюда следует, что В1=В2.
Посмотрим теперь на Н. Мы снова можем воспользоваться уравнением (36.19), взяв криволинейный интеграл по контуру Г (см. фиг. 36.11,6). Как и прежде, правая часть равна NI— произведению числа витков на ток. Однако теперь Н в железе и в воздухе будет различным. Обозначая через Н2поле в железе, а через l2 — Длину пути по окружности ярма, мы видим, что эта часть кривой дает вклад в интеграл H2l2. Если же поле в зазоре равно Н1, а ширина его l1, то вклад зазора оказывается равным H1l1. Таким образом, получаем
Но это еще не все. Нам известно еще, что намагниченность в воздушной щели пренебрежимо мала, так что B1=H1. А так как B1=B2, то уравнение (36.26) принимает вид
Остаются еще два неизвестных. Чтобы найти В2и H2, необходимо еще одно соотношение, которое связывает В с H в железе.
Если можно приближенно считать, что B2=mH2, то уравнение разрешается алгебраически. Рассмотрим более общий случай, для которого кривая намагничивания железа имеет вид, изображенный на фиг. 36.8. Единственное, что нам нужно,— это найти совместное решение этого функционального соотношения с уравнением (36.27). Его можно найти, строя зависимость (36.27) на одном графике с кривой намагничивания, как это сделано на фиг. 36.12. Точки, где эти кривые пересекутся, и будут нашими решениями.
Для данного тока I уравнение (36.27) описывается прямой линией, обозначенной I>0 на фиг. 36.12. Эта линия пересекает ось Н (B2=0) в точке H2=NI/e0c2l2и имеет наклон -l2/l1 Различные величины токов приводят просто к горизонтальному сдвигу этой линии. Из фиг. 36.12 мы видим, что при данном токе существует несколько различных решений, зависящих от того, каким образом вы получили их.
Фиг. 36.12. Определение поля в электромагните.
Если вы только что построили магнит и включили ток /, то поле B2 (которое равно B1) будет иметь величину, определяемую точкой а. Если вы сначала увеличили ток до очень большой величины, а затем понизили до I, то значение поля будет определяться точкой b. А если, увеличивая ток от большого отрицательного значения, вы дошли до /, то поле определяется точкой с. Поле в зазоре зависит от того, как вы поступали в прошлом.
