Александр Китайгородский - Физика для всех. Движение. Теплота
«Нормальная» вертикаль определяется по звездам, так как для любой географической точки вычислено, в какое место неба в данный момент суток и года «упирается» вертикаль «идеальной» фигуры Земли.
Отклонения отвеса приводят иногда к странным результатам. Например, во Флоренции влияние Аппенин приводит не к притяжению, а к отталкиванию отвеса. Объяснение может быть одно: в горах есть огромные пустоты.
Замечательный результат дают измерения ускорения силы тяжести в масштабе материков и океанов. Материки значительно тяжелее океанов, поэтому, казалось бы, значения g над материками должны быть больше, чем над океанами. В действительности же значения g, промеренные вдоль одной широты над океанами и материками, в среднем одинаковы.
Объяснение опять-таки лишь одно: материки покоятся на более легких породах, а океаны – на более тяжелых. И действительно, там, где возможны непосредственные изыскания, геологи устанавливают, что океаны покоятся на тяжелых базальтовых породах, а материки – на легких гранитах.
Но сразу же возникает следующий вопрос: почему тяжелые и легкие породы так точно компенсируют различие весов материков и океанов? Такая компенсация не может быть делом случая, причины ее должны корениться в устройстве оболочки Земли.
Геологи полагают, что верхние части земной коры как бы плавают на подстилающей пластичной (т.е. легко деформируемой, как мокрая глина) массе. Давление на глубинах около 100 км должно быть всюду одинаковым, так же как одинаково давление на дне сосуда с водой, в котором плавают куски дерева разного веса. Поэтому столб вещества площадью 1 м2, от поверхности до глубины 100 км, должен иметь и под океаном, и под материком одинаковый вес.
Это выравнивание давлений (его называют изостазией) и приводит к тому, что над океаном и материками вдоль одной широтной линии значения ускорения силы тяжести g не отличаются существенно.
Местные аномалии силы тяжести служат нам так, как маленькому Муку из сказки Гауфа служила его волшебная палочка, которая стучала о землю там, где находилось золото или серебро.
Тяжелую руду нужно искать в тех местах, где g наибольшее. Напротив, залежи легкой соли обнаруживают по местным занижениям величины g. Измерить g можно с точностью до стотысячных долей от 1 см/с2.
Методы разведки при помощи маятников и сверхточных весов называют гравитационными. Они имеют большое практическое значение, в частности для поисков нефти. Дело в том, что при гравитационных методах разведки легко обнаружить подземные соляные куполы, а очень часто оказывается, что где соль, там и нефть. Причем нефть лежит в глубине, а соль ближе к земной поверхности. Методом гравитационной разведки была открыта нефть в Казахстане и в других местах.
Тяжесть под землей
Нам осталось осветить еще один интересный вопрос. Как будет меняться сила тяжести, если углубляться под землю?
Вес предмета – это результат натяжения незримых нитей, протянутых к этому предмету от каждого кусочка вещества Земли. Вес – это суммарная сила, результат сложения элементарных сил, действующих на предмет со стороны частиц Земли. Все эти силы, хотя и направлены под разными углами, тянут тело «вниз» – к центру Земли.
А какова будет тяжесть предмета, находящегося в подземной лаборатории? На него будут действовать силы притяжения и с внутренних, и с внешних слоев Земли.
Рассмотрим силы тяготения, действующие в точке, лежащей внутри земного шара, со стороны внешнего слоя. Если разбить этот слой на тонкие слои, вырезать в одном из них маленький квадратик со стороной a1 и протянуть линии от периметра квадрата через точку О, тяжесть в которой нас интересует, то в другом месте слоя получится квадратик другого размера со стороной а2 (рис. 67). Силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, направлены противоположно и пропорциональны по закону тяготения m1/r12 и m2/r22. Но массы квадратов m1 и m2 пропорциональны площадям квадратов. Поэтому силы тяготения пропорциональны выражениям a12r12 и a22/r22.
Однако эти отношения равны. Из рис. 67 видно, что а1/r1 и a2/r2 суть отношения соответственных сторон треугольников ОА1В1 и ОА2В2, которые будут подобными, если взять стороны квадратиков А1В1 и А2В2 очень малыми. А это мы всегда можем сделать.
Действительно, если квадраты малы, то направления отрезков А1В1 и А2В2 мало отличаются от направлений касательных к этим точкам. Тогда можно считать угол В1А1О и угол, дополнительный к A2B2O равными как углы, образованные касательной и хордой, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Следовательно, . Кроме того, равны углы и при вершине. Значит, и треугольники подобны.
Из этого геометрического доказательства следует, что a1/r1 = a2/r2, а значит, силы притяжения, действующие в точке О со стороны двух квадратиков, уравновешиваются.
Разбив тонкий слой на подобные пары «противоположных» квадратов, мы установили замечательный факт: тонкий однородный шаровой слой не действует на точку, расположенную внутри него. Но это верно для всех тонких слоев, на которые мы разбили шаровой пояс, лежащий над интересовавшей нас подземной точкой.
Значит, земной слой, находящийся над телом, все равно что отсутствует. Действие отдельных его частей на тело уравновешивается, и суммарная сила притяжения со стороны внешнего слоя равняется нулю.
Конечно, во всех этих рассуждениях мы считали плотность Земли постоянной внутри каждого слоя.
Результат наших рассуждений позволяет легко получить формулу для силы тяжести, действующей на любой глубине H под землей. Точка, расположенная на глубине H, испытывает лишь притяжение со стороны внутренних слоев Земли. Формула для ускорения силы тяжести g = γ(M/R) применима и для этого случая, но M и R – это масса и радиус не всей Земли, а ее «внутренней» по отношению к этой точке части.
Если бы Земля имела одинаковую плотность во всех слоях, то формула для g приняла бы вид:
где ρ – плотность, RЗ – радиус Земли.
Это значит, что g менялось бы прямо пропорционально (RЗ – H): чем больше глубина H, тем меньше было бы g.
На самом же деле поведение g вблизи земной поверхности – мы можем проследить за ним вплоть до глубин 5 км (ниже уровня моря) – совсем не подчиняется этому закону. Опыт показывает, что в этих слоях g, наоборот, растет с глубиной. Расхождение опыта с формулой объясняется тем, что не было учтено различие плотности на разных глубинах.
Средняя плотность Земли легко находится делением массы на объем земного шара. Это приводит нас к цифре 5,52. В то же время плотность поверхностных пород много меньше – она равна 2,75. Плотность земных слоев растет с глубиной. В поверхностных слоях Земли этот эффект берет верх над идеальным уменьшением, которое следует из выведенной формулы, и величина g возрастает.
Энергия тяготения
На простом примере мы уже познакомились с энергией тяготения. Тело, поднятое на высоту h над землей, обладает потенциальной энергией mgh.
Однако этой формулой можно пользоваться лишь тогда, когда высота h много меньше радиуса Земли.
Энергия тяготения – важная величина, и интересно получить формулу ее, которая годилась бы для тела, поднятого на любую высоту над землей, а также вообще для двух масс, притягивающихся по универсальному закону:
Положим, что под действием взаимного притяжения тела немного сблизились. Между ними было расстояние r1, а стало r2. При этом совершается работа A = F(r1 – r2). Значение силы надо взять в какой-то средней точке. Итак,
Если r1 и r2 мало отличаются друг от друга, то можно заменить rср2 произведением r1r2. Получаем:
