Ричард Фейнман - 6. Электродинамика
Фиг. 20.4. Функция f(x-ct) представляет неизменный «контур», движущийся в направлении возрастания х со скоростью с.
Дифференцируя (20.21) по х, получаем
потому что производная от (x-ct) no x равна единице. Вторая производная ш no x равна
(20.22)
А производные ш no t дают
(20.23)
Мы убеждаемся, что ш действительно удовлетворяет одномерному волновому уравнению.
Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением волнового уравнения является f(x-ct)? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути отыскать решение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать решение. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть решение, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только; увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе f(x-ct)=шв качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от x2dx у вас сразу всплывает ответ x3/3.)
На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция от (x-ct), но и функция от (х+сt). Из-за того, что в волновом уравнении с встречается только в виде с2, изменение знака с ничего не меняет. И действительно, самое общее решение одномерного волнового уравнения — это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента (x-ct), а другой от (x+ct):
(20.24)
Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волну, бегущую к отрицательным х. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.
● ● ●
Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функцию ш в виде
ш=coskxcoskct.
Эта функция не имеет вида f(x-ct) или g(x+ct). Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению. Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)?
● ● ●
Применяя эти выводы о решении волнового уравнения к y-компоненте электрического поля Еу, мы заключаем, что Е может меняться по х произвольным образом. Всякое поле, которое существует в самом деле, можно всегда рассматривать как сумму двух картин. Одна волна плывет через пространство в каком-то направлении со скоростью с, причем связанное с нею магнитное поле перпендикулярно к электрическому; другая волна бежит в противоположном направлении с той же скоростью. Такие волны отвечают хорошо нам известным электромагнитным волнам — свету, радиоволнам, инфракрасному излучению, ультрафиолету, рентгеновским лучам и т. д. Мы уже изучали очень подробно излучение света. Так как все, чему мы тогда научились, применимо к любым электромагнитным волнам, то теперь нет нужды рассматривать подробно поведение этих волн.
Пожалуй, стоит лишь сделать несколько замечаний о поляризации электромагнитных волн. Раньше мы решили рассмотреть частный случай электрического поля с одной только y-компонентой. Имеется, конечно, и другое решение для волн, бегущих в направлении +х или -х, т. е. решение, при котором электрическое поле обладает одной лишь z-компонентой. Так как уравнения Максвелла линейны, общее решение для одномерных волн, распространяющихся в направлении х, есть сумма волн Еyи волн Еz. Общее
решение суммируется следующими формулами:
(20.25)
У подобных электромагнитных волн направление вектора Е не неизменно: оно как-то произвольно смещается по спирали в плоскости yz. Но в каждой точке магнитное поле всегда перпендикулярно к электрическому и к направлению распространения.
Если присутствуют только волны, бегущие в одном направлении (скажем, в положительном направлении х), то имеется простое правило, говорящее об относительной ориентации электрического и магнитного полей. Правило состоит в том, что векторное произведение ЕXВ (которое, как известно, является вектором, поперечным и к Е, и к В) указывает направление, куда бежит волна. Если Е совмещать с В правым поворотом, то вектор поворота показывает направление вектора скорости волны. (Позже мы увидим, что вектор ЕXВ имеет особый физический смысл: это вектор, описывающий течение энергии в электромагнитном поле.)
§ 2. Трехмерные волны
А теперь обратимся к трехмерным волнам. Мы уже знаем, что вектор Е удовлетворяет волновому уравнению. К тому же выводу легко прийти, отправляясь прямо от уравнений Максвелла. Предположим, что мы исходим из уравнения
и берем ротор от обеих частей:
(20.26)
Вы помните, что ротор от ротора любого вектора может быть записан в виде суммы двух членов, один из которых содержит дивергенцию, а другой — лапласиан:
Но в пустом пространстве дивергенция Е равна нулю, так что остается только член с лапласианом. Далее, из четвертого уравнения Максвелла в пустом пространстве [см. (20.12)] производная по времени от C2(СXB) равна второй производной Е по t:
Тогда (20.26) обращается в
Это и есть трехмерное волновое уравнение. Расписанное во всей красе, оно выглядит так:
Как же нам найти общее решение этого уравнения? Ответ таков: все решения трехмерного волнового уравнения могут быть представлены в виде суперпозиции уже найденных нами одномерных решений. Мы получили уравнение для волн, бегущих в направлении х, предположив, что поле не зависит от у и z. Конечно, имеются и другие решения, в которых поля не зависят от x и z,— это волны, идущие в направлении у. Затем существуют решения, не зависящие от х и y; они представляют волны, движущиеся в направлении z. Или в общем случае, поскольку мы записали наши уравнения в векторной форме, трехмерное волновое уравнение может иметь решения, которые являются плоскими волнами, бегущими, вообще говоря, в любом направлении. Кроме того, раз уравнения линейны, то одновременно может распространяться сколько угодно плоских волн, бегущих в каких угодно направлениях. Таким образом, самое общее решение трехмерного волнового уравнения является суперпозицией всех видов плоских волн, бегущих во всех возможных направлениях.
Попытайтесь представить себе, как выглядят сейчас электрические и магнитные поля в нашей аудитории. Прежде всего здесь имеется постоянное магнитное поле; оно возникло от токов внутри нашей Земли, от постоянного земного магнетизма. Затем здесь имеются какие-то нерегулярные, почти статические электрические поля. Они скорей всего созданы электрическими зарядами, появляющимися из-за того, что кто-то ерзает на своем стуле или трется рукавами о стол (словом, в результате трения). Кроме того, здесь есть еще и другие магнитные поля, вызванные переменными токами в электропроводке,— поля, которые меняются с частотой в 50 гц в такт с работой генератора на городской электростанции. Но еще больший интерес представляют электрические и магнитные поля, меняющиеся быстрее. К примеру, там, где свет падает из окна, освещая стены и пол, имеются небольшие колебания электрического и магнитного полей, перемещающиеся за секунду на 300 000 км. По комнате еще распространяются инфракрасные волны, идущие от ваших горячих голов к холодной доске с формулами. Да! Мы еще позабыли об ультрафиолетовом свете, о рентгеновских лучах и о радиоволнах, которые проносятся по комнате.
Через комнату скользят электромагнитные волны, которые несут в себе джазовую музыку. Проносятся и волны, модулированные серией импульсов, представляющих картины событий, которые происходят сейчас в других местах света, или картины воображаемых явлений, происходящих при растворении воображаемого аспирина в воображаемых желудках. Чтобы убедиться в реальности этих волн, достаточно просто включить электронную аппаратуру, которая превращает эти волны в изображения и звуки.
Если мы займемся дальнейшим анализом еще более слабых колебаний, то заметим мельчайшие электромагнитные волны, пришедшие в нашу комнату с огромных расстояний. В ней существуют мельчайшие колебания электрического поля, гребни которых отстоят друг от друга примерно на фут, а источник их удален отсюда на миллионы миль. Эти волны передаются на Землю с межпланетной станции Маринер II, которая как раз проходит сейчас где-то мимо Венеры. Ее сигналы несут сводку всей той информации, которую ей удалось ухватить у планеты (информации, полученной от электромагнитных волн, дошедших от Венеры к станции).
