Ричард Фейнман - 6. Электродинамика
Когда мы свели все эти уравнения воедино, мы обнаружили новое знаменательное явление: поля, создаваемые движущимися зарядами, могут покинуть источник и отправиться путешествовать в пространстве. Мы рассмотрели частный случай, когда внезапно включается целая бесконечная плоскость. После того как в течение времени t шелток, возникают однородные электрические и магнитные поля, простирающиеся от плоскости на ct. Предположим, что по плоскости yz течет ток в направлении +yс поверхностной плотностью J. Электрическое поле будет иметь только y-компоненту, а магнитное — только z-компоненту. Величина компонент поля будет равна
(20.2)
для положительных x, меньших ct. Для больших x поля равны нулю. Равные по величине поля простираются на то же расстояние от плоскости в направлении отрицательных y. На фиг. 20.1 показан график зависимости величины полей от x в момент t. С течением времени «волновой фронт» в ct распространяется вдоль х с постоянной скоростью с.
Фиг. 20.1. Зависимость электрического и магнитного полей от х через t сек после того, как была включена заряженная плоскость.
Теперь представим себе такую последовательность событий. На мгновение мы включаем ток единичной силы, а затем внезапно увеличиваем его силу втрое и поддерживаем его на этом уровне. Как же будут теперь выглядеть поля? Это можно узнать таким образом. Во-первых, надо представить ток с единичной силой, включенный при t=0 и больше не менявшийся. Тогда поля при положительных х будут иметь вид, представленный на фиг. 20.2, а. Затем надо задать себе вопрос, что произойдет, если в момент t1 включить постоянный ток силой в две единицы?
В этом случае поля станут вдвое больше, чем прежде, но отойдут по х только на промежуток c(t-t1) (фиг. 20.2, б). Складывая эти два решения (по принципу суперпозиции), мы получаем, что сумма источников — это ток силой в одну единицу с момента нуль до момента t1и ток в три единицы в более поздние моменты. В момент t поля меняются вдоль х так, как показано на фиг. 20.2, в.
Возьмем теперь более сложную задачу. Рассмотрим ток, имевший сначала силу в одну единицу, а затем достигший силы в три единицы и выключенный. Каковы будут поля от такого тока? Решение можно получить точно так же, как и раньше,
Фиг. 20.2. Электрическое поле плоскости с током.
а — одна единица тока включена в момент t=0; б—две единицы тока включены в момент t=t1; в — суперпозиция а и б.
Фиг. 20.3. Если сила источника тока меняется так, как на рисунке (а), то в момент t электрическое поле как функция от х приобретает другой вид (б).
т. е. складывая решения трех разных задач. Сперва найдем поля постоянного тока единичной силы (эту задачу мы уже решали). Потом узнаем поля от тока двойной силы. И, наконец, возьмем решение для полей токов с силой в минус три единицы. Сложив все три решения, мы получим ток силой в одну единицу от t=0 до какого-то более позднего момента, скажем, до t1, затем ток силой в три единицы до момента t2, а потом ток, равный нулю, т. е. выключенный. График зависимости тока от времени показан на фиг. 20.3, а. Складывая три решения для электрического поля, мы видим, что его изменения с расстоянием х в данный момент t подобны изображенным на фиг. 20.3, б. Поле в точности отображает собой ток. Распределение поля в пространстве есть точное отражение изменений тока со временем, но только нарисованное задом наперед. По мере того как проходит время, вся картина перемещается наружу со скоростью с, так что получается ломтик полей, который движется к положительным х и хранит в себе всю историю перемен тока. Если бы мы находились где-то на расстоянии многих километров, мы могли бы лишь по изменению электрического или магнитного поля безошибочно рассказать, как менялся ток в источнике.
Заметьте также, что даже после того, как вся деятельность в источнике прекратилась и все заряды исчезли, а токи сошли на нет, наш ломтик полей продолжает свое путешествие через пространство. Получается распределение электрических и магнитных полей, которое существует независимо от токов и зарядов. Это и есть тот новый эффект, который следует из полной системы уравнений Максвелла. Мы можем, если нужно, представить только что проделанный анализ в строго математической форме, написав, что электрическое поле в данном месте и в данное время пропорционально току в источнике, но не в то же время, а в более ранний период [t-(x/с)]. Можно написать
Вас удивит, если я скажу, что мы уже выводили это уравнение раньше (с другой точки зрения), когда говорили о теории показателя преломления. Тогда нам нужно было представить себе, какие поля создаст слой колеблющихся диполей в тонком плоском диэлектрике, если диполи приводятся в движение электрическим полем падающей электромагнитной волны. Задача наша состояла в расчете комбинированного поля начальной волны и волн, излучаемых колеблющимися диполями. Как же мы смогли тогда рассчитать поля, создаваемые движущимися зарядами, не зная уравнений Максвелла? Мы тогда приняли в качестве исходной (без вывода) формулу для полей излучения, создаваемых на больших расстояниях от ускоряемого точечного заряда. Если вы заглянете в гл. 31 (вып. 3), то увидите, что выражение (31.10) — это как раз наше выражение (20.3), которое мы только что написали. Хотя прежний наш вывод относился только к большим расстояниям от источника, теперь мы видим, что тот же результат верен и вблизи источника.
Сейчас мы хотим взглянуть в общем виде на поведение электрических и магнитных полей в пустом пространстве вдалеке от источников, т. е. от токов и зарядов. Очень близко от них (так близко, что источники за время запаздывания передачи не успевают сильно измениться) поля очень похожи на те, которые получились у нас в электростатике или магнитостатике. Но если перейти к таким большим расстояниям, что запаздывание станет заметным, то природа полей может радикально отличаться от тех решений, которые мы нашли. Когда поля значительно удаляются ото всех источников, они начинают в некотором смысле приобретать свой собственный характер. Так что мы вправе приступить к обсуждению поведения полей в области, где нет ни токов, ни зарядов.
Предположим, что нас интересует род полей, которые могут существовать в областях, где и r и j равны нулю. В гл. 18 мы видели, что физику уравнений Максвелла можно также выразить на языке дифференциальных уравнений для скалярного и векторного потенциалов:
(20.4)
(20.5)
Если r и j равны нулю, то эти уравнения упрощаются:
(20.6)
(20.7)
Стало быть, в пустом пространстве и скалярный потенциал j, и каждая компонента векторного потенциала А удовлетворяют одному и тому же математическому уравнению. Пусть буквой y (пси) мы обозначили любую из четырех величин j, Ах, Ау, Аг; тогда нам нужно изучить общие решения уравнения
(20.8)
Его называют трехмерным волновым уравнением — трехмерным потому, что функция y может в общем случае зависеть от х, у и z и следует учитывать изменения по каждой из этих координат. Это становится ясным, если мы выпишем явно три члена оператора Лапласа:
(20.9)
В пустом пространстве электрические и магнитные поля Е и В тоже удовлетворяют волновому уравнению. Так, поскольку B=СXА, дифференциальное уравнение для В можно получить, взяв ротор от уравнения (20.7). Раз лапласиан — это скалярный оператор, то порядок операций вычисления лапласиана и ротора можно переставлять:
Точно так же можно переставлять и вычисление rot и d/dt:
Из этого мы получаем следующее дифференциальное уравнение
для В:
(20.10)
Тем самым выясняется, что компонента магнитного поля В удовлетворяет трехмерному волновому уравнению. Подобно этому, из того факта, что Е=-Сj-dAJdt, следует, что электрическое поле Е в пустом пространстве удовлетворяет трехмерному волновому уравнению
