Ричард Фейнман - 4. Кинетика. Теплота. Звук
Распределение особых молекул в ящике удобно описывать с помощью непрерывной функции х, у и z, которую мы обозначим na. Под na(х, у, z) нужно понимать плотность особых молекул в маленьком объеме вокруг точки (х, у, z). Тогда
разность (n+-n-) можно представить в виде
(n+-n-)=(dna/dx)Dx=(dna/dx) ·2l (43.23)
Подставляя этот результат в (43.22) и пренебрегая множителем 2, получаем
Jx=lv(dna/dx) (43.24)
Мы выяснили, что поток особых молекул пропорционален производной плотности, или, как иногда говорят, «градиенту плотности».
Ясно, что мы сделали несколько грубых приближений. Не говоря уже о том, что мы постоянно забывали о множителях, мы использовали v, когда нужно было ставить vx, а разместив объемы, содержащие молекулы n+и n-, на концах перпендикуляров к площадке, взяли перпендикуляры длиной l. Между тем для тех молекул, которые движутся не перпендикулярно к поверхности, l соответствует длине наклонного пути. Можно исправить эти недоделки; более тщательный анализ показал бы, что правую часть уравнения (43.24) нужно умножить на 1/3. Итак, более правильный ответ выглядит следующим образом:
Аналогичные уравнения можно написать для токов вдоль y- иz-направлений.
С помощью макроскопических наблюдений можно измерить ток Jхи градиент плотности dna/dx. Их отношение, найденное экспериментально, называется «коэффициентом диффузии» D, Это значит, что
Мы смогли показать, что ожидаемое значение коэффициента D для газа равно
Пока мы изучили в этой главе два разных процесса: подвижность (дрейф молекул под действием «внешней» силы) и диффузию (разбегание молекул, определяемое только внутренними силами, случайными столкновениями). Однако эти процессы связаны друг с другом, потому что в основе обоих явлений лежит тепловое движение, и оба раза в расчетах появлялась длина свободного пробега l.
Если в уравнение (43.25) подставить l=vt и t=mm, то получится
Ho mv2 зависит только от температуры. Мы еще помним, что
1/2mv2=3/2kT, (43.29)
так что
Jx=-mkT(dna/dx). (43.30)
Таким образом, D, коэффициент диффузии, равен произведению kT на m, коэффициент подвижности:
D=mkT. (43.31)
Оказывается, что (43.31) — это точное соотношение между коэффициентами. Хотя мы исходили из очень грубых предположений, не нужно к нему добавлять никаких дополнительных множителей. Можно показать, что (43.31) в самом деле всегда удовлетворяется точно. Это верно даже в очень сложных случаях (например, для случая взвешенных в жидкости мелких частиц), когда наши простые вычисления явно отказываются служить.
Чтобы показать, что (43.31) верно в самых общих случаях, мы выведем его иначе, используя только основные принципы статистической механики. Представьте себе, что почему-то существует градиент «особых» молекул и возник ток диффузии, пропорциональный, согласно (43.26), градиенту плотности. Тогда мы создадим в направлении оси х силовое поле так, что на каждую особую молекулу будет действовать сила F. По определению подвижности m скорость дрейфа дается соотношением
vдр=mF. (43.32)
Используя обычные аргументы, можно найти ток дрейфа, (общее число молекул, пересекающих единичную площадку за единицу времени):
Jдр=nаvдр. (43.33)
или
Jдр=namF. (43.34)
А теперь можно так распорядиться силой F, что ток дрейфа, вызываемый силой F, скомпенсирует диффузию, тогда полный ток особых молекул будет равен нулю. В этом случае мы имеем
Jх+Jдр=0,
или
D(dna/dx)=namF. (43.35)
В этом случае «компенсации» существует постоянный (во времени) градиент плотности, равный
dna/dx=namF/D. (43.36)
Теперь уже легко соображать дальше! Ведь мы добились равновесия, и можем теперь применять наши равновесные законы статистической механики. По этим законам вероятность найти молекулу около точки х пропорциональна ехр (-U/kT), где U — потенциальная энергия. Если говорить о плотности молекул nа, то это значит:
nа=n0e-UkT. (43.37) Дифференцируя (43.37) по х, получаем
или
В нашем случае сила F направлена вдоль оси х и потенциальная энергия U равна -Fx, a-dU/dx=F. Уравнение (43.39) принимает вид
[Это в точности уравнение (40.2), из которого мы и вывели ехр(-U/kT); круг замкнулся.] Сравнивая (43.40) и (43.36), мы получаем уравнение (43.31). Мы показали, что в уравнении (43.31), которое выражает ток диффузии через подвижность, все коэффициенты правильны, а само уравнение правильно всегда. Подвижность и диффузия тесно связаны. Эту связь открыл Эйнштейн.
§ 6. Теплопроводность
Методы кинетической теории, которую мы так успешно применяли, позволяют также рассчитать и теплопроводность газа. Если газ в верхней части ящика горячее, чем внизу, то тепло перетечет сверху вниз. (Мы предполагаем, что теплее верхняя часть ящика, потому что в противном случае возникнут поднимающиеся вверх конвекционные токи, а этот случай уже не имеет отношения к теплопроводности.) Перенос тепла от горячего газа к холодному вызывается диффузией «горячих» молекул (т. е. молекул с большой энергией) вниз и диффузией «холодных» молекул вверх. Чтобы вычислить поток тепловой энергии, мы должны узнать сначала об энергии, переносимой через выделенную площадку сверху вниз (ее переносят движущиеся вниз молекулы), потом об энергии, переносимой через эту же площадку снизу вверх (за это уже отвечают молекулы, поднимающиеся вверх). Разность этих потоков энергии даст нам полный поток энергии сверху вниз.
Теплопроводность c определяется как отношение скорости переноса тепловой энергии через единичную площадку к градиенту температуры:
Поскольку ход вычислений теплопроводности очень похож на вычисление потока заряженных частиц в ионизованном газе, то мы предлагаем читателю в виде упражнения доказать, что
при этом (g-1)kT —средняя энергия молекулы при температуре Т.
Если вспомнить о соотношении nlsc=1, то теплопроводность можно записать в виде
Мы получили поистине удивительный результат. Известно, что средняя скорость молекул газа зависит от температуры и не зависит от плотности. Можно думать, что sсзависит только от размеров молекул. Таким образом, наш очень простой вывод сводится к тому, что теплопроводность c (а следовательно, и скорость потока тепла в каждом частном случае) не зависит от плотности газа! Изменение числа «носителей» энергии при изменениях плотности в точности компенсируется изменением расстояния, которое пробегает «носитель» между столкновениями.
А теперь можно спросить: Действительно ли поток тепла всегда не зависит от плотности газа? Ну а если плотность стремится к нулю и в ящике совсем не остается газа? Конечно, нет! Формула (43.43), как и другие формулы этой главы, выведена в предположении, что средняя длина свободного пробега между столкновениями гораздо меньше любых размеров ящика. Если плотность газа столь мала, что молекула имеет неплохие шансы пробежаться от одной стенки ящика к другой, ни разу не столкнувшись, то все вычисления этой главы рухнут. В этих случаях следует вернуться к кинетической теории и заново все детально рассчитать.
