Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор
Итак, после этого заявления Эйнштейна нужно было проверять обе формулы. Наконец, во время ближайшего полного солнечного затмения 29 мая 1919 года группой английских астрономов измерения отклонения луча света были произведены. Перед группой стояла задача после сделанных наблюдений выбрать один из трех следующих ответов:
1) гравитационное поле Солнца не оказывает влияния на траекторию луча света;
2) гравитационное поле Солнца действует на световой луч как на обычные частицы в силу закона тяготения Ньютона, что приводит к кажущемуся смещению изображения звезды у края солнечного диска, равному 0,87″;
3) отклонение изображения звезды согласуется с предсказаниями общей теории относительности и равно 1,75″.
В пределах ошибок измерений был подтвержден третий ответ. И это было триумфом новой теории.
Смещение перигелиев планет. О смещении перигелия Меркурия мы уже говорили. В ОТО траектория планет также рассчитывается как движение массивной частицы по геодезическим в пространстве-времени Шварцшильда, окружающем Солнце. Расчет для массивных частиц немного сложнее, чем для световых. Необходимо знать массу планеты m, массу M центрального массивного тела (Солнца) и угловой момент планеты (последний определяется этими массами и эксцентриситетом e орбиты планеты). Расчет геодезической в пространстве-времени позволяет определить траекторию в пространстве. Эта траектория представляет собой вращающийся эллипс. Для орбиты с «неподвижным» эллипсом планета, начиная вращение от перигелия, за один оборот (2π) снова возвратится в перигелий. Для орбиты с «вращающимся» эллипсом это уже не так: за один оборот планета окажется в другой точке, при этом точка наименьшего удаления от Солнца («новый» перигелий) сместится. Угол между направлением из центрального тела на «старый» и «новый» перигелии равен
Получается, что кеплеровский эллипс сам начинает медленно вращаться, см. рис. 7.2. Формула определяет угловое перемещение за один период, то есть за один год этой планеты. За 100 земных лет у Меркурия накапливается величина 43,0″, что находится в хорошем согласии с аномальным смещением, обнаруженным в середине XIX века, когда орбиты рассчитывались только с помощью закона Ньютона. У Земли за 100 земных лет смещение перигелия орбиты, вычисленное по этой формуле, равно 3,8″. Оно также хорошо согласуется с наблюдениями.
Гравитационное красное смещение частоты сигнала. Чтобы перейти к третьему тесту необходимо определить, что такое истинное время, а что такое координатное время. Истинное время в данной точке – это время наблюдателя, его собственных часов. В какую точку наблюдателя не помещай, часы на его руке будут для него идти одинаково. Собственные биоритмы также не изменятся. У хорошо тренированных людей, например космонавтов, сердце одинаково стучит как на Земле, так и на орбите. Но на Земле мы ощущаем силу тяжести, в то время как космическая станция на орбите движется по геодезической (по инерции), является инерциальной системой отчета и там имеет место состояние невесомости. В отличие от истинного времени, координатное время не несет такой смысловой нагрузки. Оно вместе с пространственными координатами представляет как бы «сетку», накинутую на пространство-время, с помощью которой удобно производить измерения и не более.
Рис. 7.2. Смещение перигелия Меркурия (пунктир – траектория по Ньютону)
Как связаны истинное время и координатное? Ограничимся рассмотрением статического пространства-времени, то есть такого, для которого все метрические коэффициенты не зависят от времени. Рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства. Тогда интервал между этими событиями ds, как инвариантная величина, независимая от координат, определяет промежуток собственного (или истинного) времени dτ следующим образом: ds2 = c2dτ2. Поскольку мы рассматриваем одну и ту же точку пространства, то пространственная часть не дает вклада в интервал, dx1 = dx2 = dx3 = 0. Поэтому от всего выражения интервала остается только часть: ds2 = g00c2dt2. Таким образом, истинное время в данной точке определяется через координатное формулой dτ = (g00)1/2dt. Если в данной точке g00 = 1, то истинное время совпадает с координатным. Поясним это. В зависимости от модели и исследуемых проблем, координатное время можно менять так же, как и пространственные координаты. А истинное время неизменно, поскольку оно однозначно определятся интервалом – инвариантной величиной.
Из всего сказанного полезным является следующий вывод. Если имеется некоторый отрезок мировой линии некоторого произвольно движущегося наблюдателя, то его собственное время равно длине этого отрезка (инвариантной величине) в псевдоевклидовом искривленном пространстве-времени.
Теперь можно перейти к третьему эффекту, предсказанному Эйнштейном. Поскольку мы ограничились статическим случаем, для которого метрический коэффициент g00 зависит только от пространственных координат, то от бесконечно малых по времени величин можно перейти к конечным. Таким образом, в каждой точке пространства τ = g00)1/2t. Значит, в общем случае, в каждой точке пространства истинное время течет по-разному в зависимости от значения g00. Для примера возьмем слабое гравитационное поле изолированного тела, которое представлено приближенной метрикой пространства-времени Ньютона. Тогда в приближении слабого поля в окрестности этого тела τ = t (1 + φ/c2). А поскольку потенциал φ по определению отрицателен, то это время течет медленнее по сравнению с координатным. Учитывая, что координатное время совпадает с физическим временем на удалении от тела (на бесконечности), то это замедление можно интерпретировать, как замедление по сравнению с удаленным наблюдателем. Справедливо и более общее утверждение: собственное время течет медленнее по сравнению с наблюдателем, у которого потенциал гравитационного поля слабее.
Теперь вспомним, что частота ω электромагнитного сигнала обратно пропорциональна течению времени. Таким образом, в отсутствии гравитационного поля ω0~ 1/t. А поскольку в реальности все физические явления в данной точке происходят в темпе истинного времени, то частота электромагнитного сигнала в какой-либо точке в окрестности тела ω~ 1/. Поэтому в приближении слабого поля
Это означает, что если в данную точку в окрестности тела сигнал пришел издалека (из бесконечности, где гравитационный потенциал фактически исчезает), то его частота в этой точке станет больше, чем на бесконечности – произойдет так называемое «фиолетовое» смещение. И наоборот, если пошлем сигнал от тяготеющего тела в область плоского пространства-времени, то там он воспримется с меньшей частотой, то есть его спектр сместится в «красную» область. Уменьшение частоты означает уменьшение энергии сигнала. То есть, покидая тяготеющее тело, электромагнитный сигнал ослабевает, что естественно. На рис. 7.3 отображена следующая ситуация.
Рис. 7.3. Замедление времени
Из двух идентичных источников света один расположен на поверхности массивной планеты, другой – далеко, как от нее, так и от всех остальных небесных тел. Наблюдатель находится рядом с последним источником и детектирует свет обоих. Левая картинка соответствует наблюдениям источника на планете, правая – наблюдениям собственного источника. Сравнивая свет от обоих источников, он найдет, что свет от планеты «покраснел» (поскольку его частота меньше частоты его собственного источника), и часы на планете идут медленнее его часов.
Также можно сравнить частоту сигнала, если он посылается между двумя точками пространства с разными гравитационными потенциалами. Снова вернемся к приближению слабого поля для изолированного тела:
Формула означает, что сигнал, испущенный в точке 1, регистрируется в точке 2. Тогда, например, если точка 2 дальше от центра, чем точка 1, то в ней частота станет меньше. Именно последняя формула лежит в основе третьего эффекта. Если его проверять на Земле, то нужно прием ник разместить выше источника. Из формулы следует, что ожидаемая разность частот в наименьшем приближении будет пропорциональной разности h = r2 – r1 по высоте приемника и источника: ∆ω/ω = GMh/c2, где M – масса Земли. Этот эффект на Земле очень слаб.
