Ричард Фейнман - 8a. Квантовая механика I
Первый вопрос, на который нужно ответить: каковы базисные состояния для этой системы? Но вопрос этот поставлен неправильно. Такой вещи, как единственный базис, не существует, а всякая система базисных состояний, которую вы выберете, не будет единственной. Всегда можно составить новые системы из линейных комбинаций старой. Для базисных состояний всегда есть множество выборов и все они одинаково законны.
Значит, надо спрашивать: не «каков базис?», а «каким его можно выбрать?». И выбрать вы вправе какой угодно, лишь бы вам было удобно.
Обычно лучше всего начинать с базиса, который физически наиболее очевиден. Он не обязательно должен решать какую-то задачу или быть непосредственно важным в каком-то отношении, нет, он в общем должен только облегчать понимание того, что происходит.
Мы выбираем следующие базисные состояния:
Состояние 1. И у электрона, и у протона спины смотрят вверх.
Состояние 2. У электрона спин смотрит вверх, а у протона— вниз.
Состояние 3. У электрона спин смотрит вниз, а у протона —
вверх.
Состояние 4. И у электрона, и у протона спины смотрят
вниз.
Для краткой записи этих четырех состояний введем следующие обозначения:
Состояние 1: |+ +>; у электрона спин вверх, у протона спин вверх.
Состояние 2: | + ->; у электрона спин вверх,
у протона спин вниз.
Состояние 3: |- +>; у электрона спин вниз, у протона спин вверх.
Состояние 4: |- ->; у электрона спин вниз, у протона спин вниз. (10.1)
Помните, что первый знак плюс или минус относится к электрону, второй — к протону. Чтобы эти обозначения были у вас под рукой, они сведены на фиг. 10.1.
Фиг. 10.1. Совокупность базисных состояний
для основного состояния атома водорода.
Эти состояния мы обозначаем | + +>, | + ->> |- +>.
Временами будет удобнее обозначать эти состояния |1>, |2>, |3> и |4>.
Вы можете сказать: «Но частицы взаимодействуют, и, может быть, эти состояния вовсе не являются правильными базисными состояниями. Получается, будто вы рассматриваете обе частицы независимо». Да, действительно! Взаимодействие ставит перед нами вопрос: каков гамильтониан системы? Но вопрос о том, как описать систему, не касается взаимодействия. Что бы мы ни выбрали в качестве базиса, это никак не связано с тем, что случится после. Может оказаться, что атом не способен оставаться в одном из этих базисных состояний, даже если с него все и началось. Но это другой вопрос. Это вопрос о том, как со временем меняются амплитуды в выбранном (фиксированном) базисе. Выбирая базисные состояния, мы просто выбираем «единичные векторы» для нашего описания.
Раз уже мы коснулись этого, бросим взгляд на общую проблему отыскания совокупности базисных состояний, когда имеется не одна частица, а больше. Вы знаете базисные состояния для одной частицы. Электрон, например, полностью описывается в реальной жизни (не в наших упрощенных случаях, а в реальной жизни) заданием амплитуд пребывания в одном из следующих состояний:
| Электрон спином вверх с импульсом р> или
| Электрон спином вниз с импульсом р>.
В действительности существуют две бесконечные совокупности состояний, по одному на каждое значение р. Значит, сказать, что электронное состояние |y> описано полностью, можно лишь тогда, когда вы знаете все амплитуды
где + и - представляют компоненты момента количества движения вдоль какой-то оси, обычно оси z, a p — вектор импульса. Стало быть, для каждого мыслимого импульса должны быть две амплитуды (дважды бесконечная совокупность базисных состояний). Вот и все, что нужно для описания отдельной частицы.
Таким же образом могут быть написаны базисные состояния, когда частиц не одна, а больше. Например, если надо было бы рассмотреть электрон и протон в более сложном, чем у нас, случае, то базисные состояния могли бы быть следующими: Электрон с импульсом p1 движется спином вверх, а протон с импульсом р2 движется спином вниз. И так далее для других спиновых комбинаций. Если частиц больше двух, идея остается та же. Так что вы видите, что расписать возможные базисные состояния на самом деле очень легко. Вопрос только в том, каков гамильтониан.
Нам для изучения основного состояния водорода нет нужды применять полные совокупности базисных состояний для различных импульсов. Мы оговариваем и фиксируем определенные импульсные состояния протона и электрона, когда произносим слова «основное состояние». Детали конфигурации — амплитуды для всех импульсных базисных состояний — можно рассчитать, но это уже другая задача. А мы сейчас касаемся только влияния спина, так что ограничимся только четырьмя базисными состояниями (10.1). Очередной вопрос таков: каков гамильтониан для этой совокупности состояний?
§ 2. Гамильтониан основного состояния водорода
Через минуту вы это узнаете. Но прежде хочу вам напомнить одну вещь: всякое состояние всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний. Для любого состояния |y|> можно написать
Напомним, что полные скобки — это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через Сi, где i=l, 2, 3 или 4, и записать (10.2) в виде
Задание четверки амплитуд Сi полностью описывает спиновое состояние |y>. Если эта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором Н^. Задача в том, чтобы найти этот оператор H^ .
Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует большего искусства, чем отыскание системы базисных состояний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на этом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его .правильным, потому что результаты будут согласовываться с экспериментальными наблюдениями.
Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать гамильтониан отдельной частицы со спином 1/2, применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являющиеся просто удобным, кратким способом запоминания матричных элементов типа <+|sz|+> были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином 1/2. Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобретем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором se с тремя компонентами sex, sey и sez. Дальше условимся, что когда одна из них действует
Таблица 10.1 · СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ
на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водорода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно syе|-+>? Поскольку sy , действующее на электрон со спином вниз, дает -i, умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то
sey|-+>=-i|++>.
(Когда syе действует на комбинированное состояние, оно переворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на -i.) Действуя на другие состояния, sеудаст
Напомним еще раз, что оператор sе действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.
Теперь определим соответствующий оператор «протон-сигма» для спина протона. Три его компоненты spx, spy, spz, действуют так же, как и sе, но только на протонный спин. Например, если spxбудет действовать на каждое из четырех базисных состояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)
Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов seyspz. Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый. Например,
