Ричард Фейнман - 4. Кинетика. Теплота. Звук
Это означает, конечно, что если в данный момент 1/60 часть молекул подошла достаточно близко к тем, с кем они должны столкнуться, то их столкновение произойдет в течение следующей минуты.
Когда мы говорим, что t (среднее время между столкновениями) равно одной минуте, то мы вовсе не считаем, что все столкновения разделены в точности минутными интервалами. Частица, столкнувшись, совсем не выжидает потом еще минуту, чтобы нанести следующий удар. Промежутки между последовательными столкновениями весьма различны. В дальнейшем, правда, нам это не понадобится, но можно задать такой вопрос: А чему все же равно время между столкновениями? Мы уже знаем, что в приведенном выше примере среднее время равно одной минуте, но нам, быть может, нужно знать, какова вероятность того, что молекула не столкнется ни с кем в течение двух минут?
Ответим на более общий вопрос: Какова вероятность того, что молекула не испытает ни одного столкновения за время t? Начнем в какой-то произвольный момент времени, который мы назовем t=0, следить за определенной молекулой. Какова вероятность того, что до момента встречи ее с другой молекулой пройдет время t? Чтобы вычислить вероятность, посмотрим, что случится со всеми N0молекулами, находящимися в ящике. Пока мы ждем в течение времени t, некоторые молекулы испытают столкновения. Пусть N(t) — число молекул, не испытавших столкновений за время t. Мы можем определить N(t), ибо нам известно, как это число меняется со временем. Это число N(t), естественно, меньше общего числа молекул N0. Если мы знаем, что за время t избежать столкновений удалось N(t) молекулам, то N(t+dt) (число молекул, которым удалось сделать это за время t+dt) меньше N(t) на число молекул, все-таки столкнувшихся за время dt. Мы уже раньше научились определять число молекул, которым не удалось избежать столкновений за время dt, с помощью среднего времени т: dN=N(t)dt/t. Мы получаем уравнение
N(t+dt)=N(t)-N(t)dt/t. (43.2)
Величину, стоящую в левой части уравнения, N(t+dt), можно в согласии с общими правилами дифференциального исчисления записать в виде N(t)+(dN/dt)(dt). Сделав эту подстановку, мы приведем уравнение (43.2) к виду
Число молекул, выбывших из игры за промежуток dt, пропорционально числу наличных молекул и обратно пропорционально среднему времени жизни t. Уравнение (43.3) легко проинтегрировать, если переписать его в виде
Поскольку в каждой части стоит полный дифференциал, то интеграл уравнения таков:
lnN(t)=-t/t+ постоянная, (43.5)
или, что то же самое,
N(t)=(постоянная)е-t/t. (43.6)
Мы знаем, что постоянная должна быть равна N0— полному числу молекул, потому что в начальный момент t=0 все молекулы ждут «следующего» удара. Мы можем записать наш результат в виде
N(t)=N0e-t/t. (43.7)
Если мы хотим определить вероятность P(t) того, что молекула не испытает столкновений, нужно величину N(t) поделить на N0; тогда получим
P(t)=е-t/t. (43.8)
Вот наш результат: вероятность того, что какая-то молекула сможет прожить время t, не столкнувшись, равна ехр(-t/t), где t — среднее время между столкновениями. Вероятность эта начинается с 1 (очевидности) при t=0 и уменьшается по мере того, как t становится все больше и больше. Вероятность того, что молекула избежит столкновений за время t, равна е-1=0,37... Шансов выдержать дольше, чем среднее время между столкновениями, меньше половины. В этом нет ничего странного, потому что существует достаточно много молекул, которые избегают столкновений значительно дольше среднего времени между столкновениями, так что среднее время между столкновениями по-прежнему равно t,
Первоначально мы определили t как среднее время между столкновениями. Сформулированный в виде уравнения (43.7) результат говорит нам, что среднее время, отсчитываемое от произвольно взятого момента до следующего столкновения, также равно т. Этот несколько удивительный факт можно продемонстрировать следующим образом. Число молекул, которые испытают их следующее столкновение в промежутке dt, отсчитанного от времени t после произвольно взятого начального времени, равно N(t)dt/t. Их «промежуток времени до следующего столкновения» равен, конечно, t. «Среднее время до следующего столкновения» получается обычным образом:
Среднее время до следующего столкновения=
Используя полученное из (43.7) число N(t) и вычисляя интеграл, найдем, что t — это среднее время, отсчитанное от любого момента до следующего столкновения.
§ 2. Средняя длина свободного пробега
Есть еще возможность описать столкновения молекул, не вводя для этого времени между столкновениями. Можно определить, далеко ли успеет уйти частица между столкновениями. Если мы знаем, что среднее время между столкновениями равно t, а средняя скорость молекул равна v, то очевидно, что среднее расстояние между столкновениями, которое мы обозначим буквой l, равно произведению t и v;. Это расстояние между столкновениями обычно называют длиной свободного пробега:
Длина свободного пробега l=tv. (43.9)
В этой главе мы не будем уточнять, какого рода среднее мы имеем в виду в каждом случае. Существующие разные средние — среднее, корень из среднего квадрата и т. д.— приблизительно равны и отличаются только множителями, близкими к единице. Поскольку для получения правильных множителей необходим подробный анализ, нам нет смысла очень уж стараться уточнять, какое именно среднее используется в том или ином случае. Мы хотим еще предупредить читателей, что используемые для обозначения физических величин алгебраические символы (например, l для длины свободного пробега) не являются общепринятыми просто потому, что об этом никто еще специально не договаривался.
Вероятность того, что молекула испытает столкновение, пройдя расстояние dx, равна dx/l, как вероятность столкновения за короткий промежуток времени dt равна dt/t. Призвав на помощь те же аргументы, что и раньше, читатель сможет показать, что вероятность того, что молекула пройдет по крайней мере расстояние х, прежде чем испытает следующее столкновение, равна е-х/l.
Среднее расстояние, которое молекула проходит между столкновениями (длина свободного пробега l), зависит от количества молекул, ее окружающих, и от того, какого «размера» эти молекулы, т. е. от того, насколько уязвимую мишень представляют они собой. «Размеры» мишени при столкновениях обычно описывают при помощи «эффективного сечения столкновений»; эта же идея используется и в ядерной физике или в задачах о рассеянии света.
Рассмотрим движущуюся частицу, которая проходит расстояние dx внутри газа, содержащего n0рассеивателей (молекул) в единичном объеме (фиг. 43.1).
Фиг. 43,1. Эффективное сечение столкновения.
На каждой площадке единичной площади, перпендикулярной к направлению движения выбранной нами частицы, имеется n0dx молекул. Если каждая может быть представлена эффективной площадью столкновения, или, как обычно говорят, «эффективным сечением столкновения» sс, то полная площадь, покрываемая рассеивателями, равна scn0dx.
Под «эффективным сечением столкновения» понимается площадь, в которую должен попасть центр частицы, если она должна столкнуться с заданной молекулой. Если молекулы выглядят как маленькие шарики (классическая картина), то следует ожидать, что sс=p(r1+r2)2, где r1и r2— радиусы двух сталкивающихся молекул. Вероятность того, что наша частица столкнется с какой-нибудь молекулой, равна отношению площади, покрываемой рассеивающими молекулами, к полной площади, принятой нами за единицу. Таким образом, вероятность столкновения на пути dx равна sсn0dx:
