Ричард Фейнман - 6. Электродинамика
Вы можете подумать: но сила, действующая на электроны, зависит от того, насколько быстро движется провод; быть может, если бы провод двигался достаточно медленно, этой электрической энергией можно было бы вообще пренебречь. Действительно, скорость, с какой высвобождается электрическая энергия, пропорциональна скорости провода, но все же полная выделенная энергия пропорциональна к тому же еще и времени, в течение которого проявлялась эта скорость. В итоге полная выделенная электрическая энергия пропорциональна произведению скорости на время, а это как раз и есть пройденное расстояние. Каждому пройденному в поле расстоянию отвечает заданное, и притом одно и то же, количество электрической работы.
Возьмем кусок провода единичной длины, по которому течет ток I. Провод движется перпендикулярно самому себе и магнитному полю В со скоростью v;провод. Благодаря наличию тока сами электроны обладают скоростью дрейфа vдрейфвдоль провода. Компонента магнитной силы, действующей на каждый электрон в направлении дрейфа, равна qe vпровод В. Значит, скорость, с какой производится электрическая работа, равна Fvдрейф = (qevпроводВ)vдрейф. Если на единице длины провода имеется N проводящих электронов, то вся величина электрической работы, производимой в секунду, такова:
Но Nqеvдрейф равно току I в проводе, так что
И поскольку ток поддерживается неизменным, то силы, действующие на электроны проводимости, не ускоряют их; электрическая энергия переходит не к электронам, а к тому источнику, который сохраняет силу тока постоянной.
Но заметьте, что сила, действующая на провод, равна IB; значит, IBvпровод — это механическая работа, выполняемая над проводом в единицу времени, dUмех/dt = IBvпровод. Отсюда мы заключаем, что механическая работа перемещения провода в точности равна электрической работе, производимой над источником тока, так что энергия петли остается постоянной!
Это не случайность. Это следствие закона, с которым мы уже знакомы. Полная сила, действующая на каждый из зарядов в проводе, равна
Скорость, с которой производится работа, равна
(15.12)
Если электрического поля нет, то остается только второе слагаемое, а оно всегда равно нулю. Позже мы увидим, что изменение магнитных полей создает электрические поля, так что наши рассуждения применимы лишь к проводам в постоянных магнитных полях.
Но тогда почему же принцип виртуальной работы дает правильный ответ? Потому, что пока мы не учитывали полную энергию Вселенной. Мы не включали в рассмотрение энергию тех токов, которые создают магнитное поле, с самого начала присутствующее в наших рассуждениях.
Но представим себе полную систему, наподобие изображенной на фиг. 15.3,а, где петля с током I вдвигается в магнитное поле B1 созданное током I2 в катушке. ТокI1, текущий по петле, тоже будет создавать какое-то магнитное поле В2 близ катушки. Если петля движется, то поле В2 изменяется. В следующей главе мы увидим, что изменяющееся магнитное поле создает поле Е, и это поле действительно начнет действовать на заряды в катушке. Эту энергию мы обязаны включить в наш сводный баланс энергий.
Мы, конечно, могли бы подождать говорить об этом новом вкладе в энергию до следующей главы, но уже сейчас можно оценить его, если применить соображения принципа относительности.
Фиг. 15.3. Вычисление энергии маленькой петли в магнитном поле.
Приближаем петлю к неподвижной катушке и знаем, что электрическая энергия петли в точности равна и противоположна по знаку произведенной механической работе. Иначе говоря,
Теперь предположим, что мы смотрим на происходящее с другой точки зрения: будем считать, что петля покоится, а катушка приближается к ней. Тогда катушка движется в поле, созданном петлей. Те же рассуждения приведут к выражению
Механическая энергия в обоих случаях одна и та же — она определяется только силой, действующей между двумя контурами.
Сложение двух уравнений дает
Полная энергия всей системы равна, конечно, сумме двух электрических энергий и взятой один раз механической энергии. В итоге выходит
Полная энергия всей системы — это на самом деле Uмех со знаком минус. Если нам нужна, скажем, полная энергия магнитного диполя, то следует писать
И только тогда, когда мы потребуем, чтобы все токи оставались постоянными, можно использовать лишь одну из частей энергии Uмех (всегда равную истинной анергии со знаком минус) для вычисления механических сил. В более общих задачах надо соблюдать осторожность, чтобы не забыть ни одной из энергий. Сходное положение наблюдалось и в электростатике. Мы показали там, что энергия конденсатора равна Q2/2C. Когда мы применяем принцип виртуальной работы, чтобы найти силу, действующую между обкладками конденсатора, то изменение энергии равно Q2/2, умноженному на изменение в 1/С, т. е.
(15.14)
А теперь предположим, что нам надо было бы подсчитать работу, затрачиваемую на сближение двух проводников, но при другом условии — что напряжение между ними остается постоянным. Тогда правильную величину силы мы могли бы получить из принципа виртуальной работы, если бы поступили немного искусственным образом. Раз Q = CV, то полная энергия равна 1/2 CV2. Но если бы мы ввели условную энергию, равную —1/2CV2, то принцип виртуальной работы можно было бы применить для получения сил, полагая изменение этой условной энергии равным механической работе (это при условии, что напряжение V
считается постоянным). Тогда
(15.15)
а это то же самое, что написано в уравнении (15.14). Мы получаем правильный ответ, хотя пренебрегаем работой, которую электрическая система тратит на постоянное поддержание напряжения. И здесь опять электрическая энергия ровно вдвое больше механической и имеет обратный знак.
Итак, если мы ведем расчет искусственно, пренебрегая тем фактом, что источник потенциала должен тратить работу на то, чтобы напряжение оставалось неизменным, то все равно мы приходим к правильному результату. Это в точности соответствует положению дел в магнитостатике.
§ 3. Энергия постоянных токов
Зная, что Uполн = -Uмех, используем этот факт, чтобы найти истинную энергию постоянных токов в магнитных полях. Начать можно с истинной энергии небольшой токовой петельки. Обозначая Uполнпросто через U, напишем
U = m·В.(15.16)
Хотя эту энергию мы подсчитали только для плоской прямоугольной петли, все это верно и для плоской петельки произвольной формы.
Энергию контура произвольной формы можно найти, представив себе, что он состоит из небольших токовых петель. Скажем, имеется провод в форме петли Г (фиг. 15.4). Натянем на эту петлю поверхность S, а на ней наметим множество петелек, каждую из которых можно считать плоской. Если заставить ток I циркулировать по каждой петельке, то в итоге выйдет то же самое, как если бы ток шел только по петле Г, ибо токи на всех внутренних линиях взаимно уничтожатся. Система небольших токов физически не будет отличима от исходного контура, и энергия должна быть той же, т. е. должна быть равна сумме энергий всех петелек.
Если площадь каждой петельки Dа, то ее энергия равна IDаBn, где Bn — компонента В, нормальная к Dа. Полная энергия равна U = SIBnDа.
Фиг. 15.4. Энергию большой петли в магнитном поле можно считать суммой энергий маленьких петелек.
В пределе, когда петли становятся бесконечно малыми, сумма превращается в интеграл, и
(15.17)
где n — единичная нормаль к da,
Если мы положим В = СXA, то поверхностный интеграл можно будет связать с контурным (по теореме Стокса):
