Марио Бертолотти - История лазера
Рис. 15. Колебания струны. На верхней части показано основное колебание, а при движении вниз — последовательные его гармоники
Чтобы понять этот факт, мы можем рассмотреть простой случай волнового движения в одном направлении (одномерный случай), представляемого движением струны, закрепленной на концах. Поскольку концы струны не могут двигаться, единственными возможными являются колебания, показанные на рис. 15, которые на музыкальном языке соответствуют основной ноте и различным гармоникам (обертонам): на длине струны могут существовать полволны, две полуволны, три, десять, тысяча и любое целое число полуволн. Соответствующие частоты колебаний в два, три, десять, тысячу раз больше, чем частота основной ноты. В случае стационарных волн в трехмерной коробке (полости), например, в кубе ситуация такая же, хотя и немного сложнее, но результат тот же в том смысле, что имеется неограниченное число разных колебаний, с длинами волн все короче, и с соответствующими частотами все выше. Если мы примем принцип равновесности и будем считать, что Е — полная энергия, заключенная в полости, тогда эта энергия, деленная на полное число мод, будет соответствовать энергии одиночного колебания и, поскольку число мод бесконечно, эта энергия должна быть бесконечно малой величиной! Это заключение совершенно абсурдно, и даже невероятно, если мы приложим его к черному телу Кирхгофа. Если мы позволим некоторому, малой величины, излучению на некоторой длине волны, например красной, попасть в полость, то оно там начнет взаимодействовать со стенками и будет распределено среди бесконечных колебательных мод, содержащихся в полости, т.е. среди бесконечного числа частот, простирающихся ниже, чем красная, и выше, чем красная, т.е. в области ультрафиолетового излучения, рентгеновского, γ-лучей и т.д. Этот парадоксальный результат был назван «ультрафиолетовой катастрофой». Согласно этому анализу, открытая дверца печи на кухне должна была бы быть источником рентгеновских и γ-лучей, подобно атомной бомбе!
Статья Рэлея, опубликованная в июне 1900 г., содержала всего две страницы, но ясно и недвусмысленно показывала неизбежный результат, который получается при применении классической статистической механики к проблеме излучения. Ни Планк, ни его коллеги экспериментаторы X. Рубенс (1865-1922) и Ф. Курлбаум (1857-1927) не воспринимали работу Рэлея очень серьезно. Закон распределения, предложенный Рэлеем, при сопоставлении с экспериментальными данными показывал расхождение, кроме области длинных волн. Поэтому он сперва был отвергнут, так же как и некоторые другие законы, предложенные на основе разных гипотез.
Закон Планка
Теоретическая ситуация, как описывают, была следующей. Когда в воскресенье 7 октября 1900 г. X. Рубенс со своей женой посетил Планков, он рассказал Планку об измерениях на длинах волн до 50 мкм, которые он произвел вместе с Ф. Курлбаумом в Берлинском институте. Эти измерения показали определенное отклонение от предположений согласно закону Вина, но были в согласии с новой формулой Рэлея. Публичное представление этих результатов должно было состояться 19 октября на сессии Германского Физического общества. Перед этим заседанием Планк старался модифицировать свое выражение для энтропии осцилляторов так, чтобы оно согласовывалось с новыми результатами, все еще придерживаясь основ термодинамических рассмотрений, он вывел закон распределения, который сегодня носит его имя. Той же ночью он послал открытку Рубенсу с новой формулой, которая была получена на следующее утро. Спустя день или два Рубенс пришел к Планку и показал ему экспериментальные результаты, которые прекрасно совпадали с новой формулой. На собрании Германского Физического общества 19 октября Курлбаум представил эксперименты, выполненные с Рубенсом, и в последовавшей оживленной дискуссии, Планк представил свою новую формулу в комментарии, озаглавленном «Об улучшении закона излучения Вина». «В тот же день, в который я сформулировал этот закон, я поставил перед собой задачу придать ему правильный физический смысл», — говорил Планк позднее, и после нескольких недель самой напряженной работы в его жизни, он 14 декабря снова на заседании Германского Физического общества смог объяснить физические гипотезы, которые поддерживали этот закон.
В своей лекции Планк утверждал, что согласно некоторым довольно сложным вычислениям, которые он выполнил, можно найти способ исправить парадоксальные заключения, полученные Рэлеем, и избежать опасности ультрафиолетовой катастрофы, если принять постулат, что энергия E электромагнитных волн (включая видимый свет) может существовать только в форме некоторого пакета с энергией, содержащейся в каждом пакете, прямо пропорциональной соответствующей частоте f:
«...мы рассматриваем — и это наиболее важная часть всех вычислений — Е состоит из совершенно определенного числа конечных равных частей, которые получаются путем использования для этой цели естественной константы h... Эта константа при умножении ее на частоту f резонаторов дает элемент энергии е... а путем деления Е на элемент энергии е мы получаем... число элементов энергии, которые распределены среди N резонаторов».
Эта гипотеза, известная как квантовая теория, предполагает, что энергия может испускаться только дискретными величинами, или пакетами, а не непрерывно изменяемыми величинами. Минимальная энергия, которую осциллятор может испустить на частоте f, является произведением частоты на универсальную константу, которую Планк обозначил h и которая ныне известна как константа Планка (постоянная действия).
Планк получил эту интерпретацию закона черного тела до середины ноября 1900 г., но представил свои результаты Германскому Физическому Обществу в Берлине только 14 декабря. Великий математик и физик А. Зоммерфельд (1868—1951) назвал этот день «днем рождения квантовой теории». Он, в частности, ссылался на тот факт, что Планк рассматривал «наиболее существенным пунктом» своей теории гипотезу, что энергия распределяется среди резонаторов полости только целыми кратными элементами конечной энергии.
Спустя более чем 30 лет в письме своему другу физику, специалисту в оптике и спектроскопии, Р. В. Буду (1868-1955) от 7 октября 1931 г., Планк оправдывался:
«короче говоря, я могу охарактеризовать всю процедуру как акт отчаяния, т.к. по своей природе я миролюбив и не склонен к сомнительным авантюрам. Однако я уже бился 6 лет (с 1894 г.) над проблемой равновесия между излучением и веществом без каких бы то ни было успехов. Я сознавал, что эта проблема имела фундаментальную важность для физики, и я узнал формулу, описывающую распределение энергии в нормальном спектре (т.е. спектр черного тела); следовательно, требовалось найти любой ценой теоретическую интерпретацию, однако эта цена могла быть высокой».
Парадоксально, что революционная гипотеза Планка не была немедленно принята, но ученые того времени не понимали, что родилась новая физика. Сам Планк не признавал революции, которую он вызвал, считая, что квантование энергии не более чем простая математическая модификация, полезная для вычислений. Он не думал, что энергия действительно концентрируется в дискретных квантах. Будучи глубоко консервативным человеком, он в течение ряда лет ограничивал свои размышления рассмотрением своей теории квантования энергии просто как удобную гипотезу, которая позволяет применить статистику Больцмана к проблеме излучения.
Точно так же физики первых лет XX в. использовали формулу черного тела как эмпирическую, и сам Планк старался ограничить концепцию квантования и произвел две последовательные модификации своей теории, в которых сумел получить ту же формулу без необходимости предположения, что процессы поглощения включают обмен энергии квантами, т.е. кванты энергии (1914 г.). Научному сообществу потребовалось несколько лет, чтобы осознать его вклад и присудить ему Нобелевскую премию по физике лишь в 1918 г. «в признание заслуг, которые он оказал развитию Физики своим открытием квантов энергии».
Среди тех первых, которые указали, что что-то не вполне правильно, был Рэлей, который в 1905 г. снова обратился к своей формуле 1900 г., отмечая, что формула Планка сводится к ней в пределе низких частот, и заключал:
«Критическое сравнение двух процессов [т.е. его собственного и Планка] представляет интерес, но не следуя за соображениями Планка, я не могу принять их. Как применяемая ко всем длинам волн, его формула могла бы иметь большее значение, если бы была удовлетворительно установлена. С другой стороны, соображения, которыми я руководствовался [мое уравнение] очень просты, и эта формула, как казалось мне, является необходимым следствием закона равновесности, как он был утвержден Больцманом и Максвеллом. Мне трудно понять, как еще один какой-нибудь процесс, также основанный на идеях Больцмана, может привести к другому результату».
