Игорь Джавадов - Понятная физика
Напомним, что в нашем опыте магнитное поле направлено слева направо. В первом полуобороте рамки первая ветвь двигалась к нам, а вторая – от нас. Значит, сила Лоренца в первой ветви была направлена вниз, во второй – вверх. Под действием пары сил Лоренца электроны перетекали из первой ветви во вторую, а из второй – возвращались через микроамперметр обратно в первую. При этом стрелка прибора отклонялась вправо – показывала прямой ток. Во втором полуобороте электроны возвращались из второй ветви обратно в первую, затем, через микроамперметр, попадали во вторую ветвь. При этом стрелка прибора отклонялась влево, показывала обратный ток. Таким образом, при вращении в магнитном поле проволочной рамки полюсы на ее концах меняются местами. Это значит, что напряжение меняет знак. Если такую рамку вращать непрерывно, получится генератор переменного напряжения, который во внешней цепи создает переменный ток. Подчеркнем, что правило Лоренца вытекает из принципа Фарадея о циркуляции тока.
§ 40. Уравнение переменного тока
Возникает вопрос, как сила тока в рамке растет от нуля до максимума, а затем снова падает до нуля? Величина тока, очевидно, зависит от силы Лоренца. Значит, сила Лоренца меняется за время оборота рамки. Заметим, при повороте рамки изменяется угол, под которым заряды внутри рамки пересекают линии поля магнита. Подсказку дает формула Фарадея (38.2). Из неё следует, что сила, поворачивающая рамку с током в магнитном поле, максимальна, когда плоскость рамки параллельна линиям магнитного поля. В нашем случае это значит, что сила Лоренца максимальна, когда электроны в ветвях рамки пересекают линии поля под прямым углом. В этот момент ток через микроамперметр достигает наибольшего значения. При дальнейшем повороте рамки угол начинает уменьшаться, вместе с ним уменьшается сила тока. Угол равен нулю, когда плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. В этот момент ветвь рамки движется параллельно линии поля. Когда сила Лоренца равна нулю (читатель сам может проверить), ток исчезает. Заметим, за один оборот рамки это происходит дважды.
В математике известны функции, обладающие такими свойствами. Это: y = Asin α и y = Bcos α. Вид функции зависит, от чего измерять угол α. Если угол брать между линией поля и перпендикуляром к плоскости рамки, подходит функция i = Asin α (А=Imax). Если угол брать между линиями поля и плоскостью рамки (по Фарадею), подходит функция i = Imaxcos α (40.1). Из уважения к Фарадею выберем (40.1) в качестве исходного уравнения для силы тока.
Напряжение на полюсах тоже изменяется по закону косинуса. Аналогичная функция имеет вид: u = Umax cos α (40.2). Поскольку угол α зависит от времени, введём угловую скорость вращения рамки: ω = α/t. Отсюда: α = ωt (40.3). Подставляя (40.3) в (40.1) и (40.2) получим: i = Imaxcos ωt (40.4) и u = Umax cos ωt (40.5). Еще введём период Т, это время, за которое рамка поворачивается на 360º. Значит, можно написать: ωТ = 360º = 2π (рад). Отсюда следует, что ω = 2π/Т (40.6). Из уравнения 1/Т = f следует, что ω = 2πf (40.7). Параметр ω называют круговой частотой. В отечественной энергетике принят стандарт частоты, равный 50 Гц.
Уравнения (40.4) и (40.5) описывают работу генератора переменного напряжения. Этот генератор является более простым и удобным по сравнению с генератором постоянного напряжения, о котором мы говорили в § 25. Почти все электростанции, снабжающие города и села электроэнергией, оборудованы генераторами переменного напряжения. Благодаря этому электроэнергия стала дешевле, стало проще передавать её на большие расстояния.
§ 41. Сопротивление переменному току.
Если закон Ома (27.1) формально записать для переменного тока, получится уравнение: i = u/Z (41.1), где Z – сопротивление переменному току. Подставляя (40.4) и (40.5) в (41.1), получим: Imaxcos ωt = Umaxcos ωt /Z, откуда следует: Imax = Umax/Z (41.2). Уравнение (41.2) показывает, что для амплитудных значений переменного тока и напряжения закон Ома выполняется. Договоримся далее писать амплитудные значения I, U без индексов «max». Мгновенные значения тока и напряжения мы будем обозначать как i и u. Выясним, от чего зависит сопротивление Z. Для этого выполним несколько опытов.
Возьмем медный провод диаметром 0,25 мм, длиной 15 м и при помощи цифрового омметра измерим его сопротивление постоянному току. Прибор покажет величину R = 4 Ом. Назовем это сопротивление омическим (в честь Г. Ома). Возьмем генератор переменного напряжения, снабженный вольтметром и амперметром, и присоединим концы провода к его клеммам. Установим выходное напряжение U = 2 В и включим генератор. Амперметр покажет, что в проводе протекает ток, амплитуда которого равна 0,5 А. Простой расчет по формуле (41.2) показывает, что свободно лежащий провод оказывает переменному напряжению омическое сопротивление R = 4 Ом.
Изменим опыт. Отсоединив провод, намотаем его по часовой стрелке виток к витку на тонкую трубку диаметром около 5 см и снова подключим к генератору. Амперметр покажет, что сила переменного тока значительно уменьшилась. Плавно увеличивая напряжение, доведем силу тока до 0.5 А. Вольтметр покажет, это случилось при напряжении, равном 40 В. Расчет по формуле (41.2) дает, что катушка оказывает переменному току сопротивление Z = 80 Ом. Это означает, что к омическому сопротивлению R = 4 Ом добавилось неизвестное сопротивление Х = 76 Ом и полное сопротивление катушки равно Z = R + X (41.3). Попробуем выяснить, откуда появилось сопротивление X.
Для простоты используем теорию магнетизма.
Согласно теории, циркуляция тока в витках катушки порождает внутри трубки катушки поток поля. При диаметре трубки 5 см наша катушка содержит около 100 витков. Такую достаточно длинную катушку называют соленоидом. Внутри соленоида поле практически однородно. Линии поля выходят из северного полюса, возвращаются вдоль наружной поверхности соленоида и снова попадают внутрь соленоида у южного полюса. Границей между внутренними и наружными линиями поля служит воображаемая цилиндрическая поверхность, проходящая примерно через середину слоя витков. Назовем ее нулевой поверхностью, так как на ней поле равно нулю.
Мысленно рассечем соленоид вдоль оси вертикальной плоскостью. В каждом витке получится два сечения: верхнее и нижнее. В верхнем сечении ток направлен от нас, в нижнем – к нам. Напомним, магнитное поле внутри соленоида направлено справа налево, снаружи – слева направо. Применим правило Лоренца для верхнего сечения витка. Согласно правилу, для электрона, который перемещается по витку снаружи нулевой поверхности, сила Лоренца направлена от оси соленоида наружу. Для электрона внутри нулевой поверхности сила Лоренца направлена внутрь соленоида. Получается, что собственное магнитное поле соленоида вытесняет ток на поверхность провода. При этом ток может протекать только в тонком приповерхностном слое. Это равносильно уменьшению сечения провода. Согласно (27.2), при уменьшении сечения провода его сопротивление увеличивается. Очевидно, причиной появления дополнительного сопротивления соленоида является поле.
Поскольку поле характеризуется магнитной индукцией (Фарадей), сопротивление Х назвали индуктивным и обозначили XL (L – в честь Лоренца).
Изменяя частоту генератора, легко проверить, что сопротивление XL прямо пропорционально частоте тока. Если ω = 0, то XL = 0. Таким условиям соответствует функция XL = Lω (41.4), где L – коэффициент пропорциональности. Генри доказал, что параметр L зависит от площади витков, их количества и материала каркаса катушки. Параметр L назвали индуктивностью катушки, а единицу ее измерения – генри (Гн). Из (41.4) следует, что индуктивность катушки равна 1 Гн, если она оказывает сопротивление 1 Ом переменному току с частотой 1 Гц. Подставляя (41.4) в (41.3), получим: Z = R + ωL (41.5).
§ 42. Индукция и самоиндукция
Измерения показывают, что переменный ток в соленоиде достигает максимального значения на четверть периода позже относительно напряжения. Попробуем разобраться в этом явлении. Допустим, напряжение описывается функцией u = U sin ωt (42.1), где частота ω равна 50 Гц. Это значит, что период напряжения равен 20 мс, а одна четверть периода равна 5 мс. Для электрона это приличное время. В первую миллисекунду после включения генератора ток в обмотке, конечно, есть. Этот циркулирующий ток создает поток поля внутри соленоида. Фарадей называл его магнитным, но суть от этого не меняется. Главное, что поле действует на электроны проводимости по правилу Лоренца. Легко определить, что сила Лоренца вытесняет электроны (т. е. породивший её ток) на поверхность провода обмотки. Электроны вместо того, чтобы двигаться вдоль оси провода, расходятся к поверхности под углом, который зависит от частоты генератора. Величина тока в проводе падает, что равносильно появлению сопротивления XL = ωL. С другой стороны, при этом растёт концентрация электронов в приповерхностном слое провода. Здесь возникает собственное электрическое поле, которое усиливается пропорционально концентрации электронов. Напряженность этого поля растет, пока кулоновская сила отталкивания между электронами не сравняется с концентрирующей силой Лоренца. Возникает динамическое равновесие, при котором небольшой ток протекает через тонкий слой провода у его поверхности. Назовем этот ток током утечки.
