Роджер Пенроуз - Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
118
Волновое уравнение (уравнение Даламбера) представимо в виде
119
Т. е. не имеющие второй производной.
120
Уравнение Лоренца определяет силу, действующую на заряженную частицу со стороны электромагнитного поля, в котором та находится. Таким образом, если масса частицы известна, то второй закон Ньютона позволяет нам найти ускорение частицы. Но заряженные частицы часто движутся со скоростями, близкими к скорости света, так что начинают сказываться эффекты специальной теории относительности, для которых выбор массы частицы (см. следующий раздел) становится уже существенным. Именно по этой причине открытие правильного закона для силы, действующей на заряженную частицу, стало возможным только после появления на свет СТО.
121
Причина, по которой пространственные координаты мы делим на с (скорость света), проста: это делается для того, чтобы мировые линии фотонов были наклонены под удобным углом 45° к вертикали (см. текст далее).
122
Действительно, в некотором смысле, любая квантовомеханическая частица, встречающаяся в природе, сама по себе является часами. Как мы узнаем из главы 6, с любой квантовой частицей связано свое колебание, частота которого пропорциональна массе частицы (см. гл. 6 «Начало квантовой теории»). Именно этот эффект позволил создать точнейшие современные (атомные и ядерные) часы.
123
Тем не менее для событий, разделенных отрицательными значениями s2, величина с2√-s2 имеет смысл, равняясь обычному расстоянию до того наблюдателя, которому события кажутся одновременными (см. далее).
124
«Излом» на мировой линии путешественника в точке В мог бы вызвать беспокойство у читателя: судя по картинке, путешественник в этой точке должен испытывать бесконечно большое ускорение. Но это несущественно. При конечном ускорении мировая линия путешественника будет иметь в точке В просто закругленный, или сглаженный изгиб, который очень слабо скажется на полном времени, которое путешественник проживает, и которое по-прежнему измеряется «длиной» (в смысле Минковского) всей его мировой линии.
125
С точки зрения наблюдателя М, эти пространства событий одновременны в смысле эйнштейновского определения одновременности, которое использует световые сигналы, посылаемые наблюдателем М и отражающиеся обратно к М из рассматриваемых точек пространства-времени. См., например, Риндлер [1982].
126
Это начальное значение второй производной по времени (или «ускорение») от формы. Быстрота изменения (или «скорость») формы первоначально считается равной нулю, так как сфера сначала находится в состоянии покоя.
127
Математическое описание этой переформулировки ньютоновской теории впервые было выполнено замечательным французским математиком Эли Картаном [1923], которое, разумеется, последовало после открытия общей теории относительности Эйнштейна.
128
Искривленные пространства — в том числе и многомерные — являющиеся в этом смысле локально евклидовыми, называются римановыми многообразиями в честь великого Бернгарда Римана A826-1866), который первым исследовал такие пространства, опираясь в своих изысканиях на раннюю работу Гаусса, посвященную двумерному случаю. Здесь нам понадобится существенно модифицировать идеи Римана, вводя допущение о возможности замены локально евклидовой геометрии на геометрию Минковского. Такие пространства часто принято называть лоренцевыми многообразиями (принадлежащими к классу так называемых псевдоримановых, или, что менее логично, полуримановых многообразий).
129
Возможно, у читателя может возникнуть беспокойство по поводу того, каким образом это нулевое значение может быть максимальным значением «длины»! Но это именно так, хотя и в несколько бессодержательном смысле: геодезическая линия нулевой длины характеризуется тем, что не существует мировых линий других частиц, соединяющих (локально) любые две ее точки.
130
В действительности, это деление на эффекты деформации и изменения объема носит не настолько четкий характер, как я пытаюсь это изобразить. Тензор Риччи сам может дать определенный вклад в приливную деформацию. (Для световых лучей такое деление проводится однозначно; см. Пенроуз, Риндлер [1986], т. 2, глава 7.) Точное определение тензоров Вейля и Риччи см., например, в книге Пенроуза и Риндлера [1984], т. 1. (Герман Вейль (род. в Германии) был выдающимся математиком XX века, а Грегорио Риччи (род. в Италии) — весьма влиятельным геометром, создавшим также теорию тензоров.)
131
Правильная форма уравнений общей теории относительности была также найдена и Давидом Гильбертом (в ноябре 1915 года), однако все физические идеи, нашедшие отражение в этой теории, принадлежат исключительно Эйнштейну.
132
Для тех, кто разбирается в подобных вопросах, эти дифференциальные уравнения представляют собой полные тождества Бьянки, в которые подставлены уравнения Эйнштейна.
133
Существуют определенные (не очень убедительные) пути для обхода этого затруднения (см. Уилер, Фейнман [1945]).
134
Технически термин «гиперповерхность» более точен, чем «поверхность», так как объект не двумерен, а трехмерен.
135
Можно заметить, что волновое уравнение (см. примечание 118 гл.5 «Вычислимость и волновое уравнение»), как и уравнение Максвелла, также является релятивистским уравнением. Таким образом, «феномен невычислимости» Пур-Эля — Ричардса, рассмотренный нами ранее, тоже зависит только от начальных данных в ограниченных областях пространства S.
136
Строгие теоремы на этот счет были бы очень полезны и интересны. Но пока их нет.
137
В ньютоновской теории кинетическая энергия частицы равна 1/2mv2, где m — масса, v — скорость частицы; но в специальной теории относительности выражение для кинетической энергии выглядит несколько сложнее.
138
Невычислимый в рамках современной теории — которая дает (предварительно) достаточно бесполезный ответ: бесконечный!
139
Я считаю само собой разумеющимся, что любая «серьезная» философская точка зрения должна содержать по крайней мере изрядную долю реализма. У меня всегда вызывает удивление, когда я узнаю о серьезных мыслителях — нередко физиках, рассматривающих следствия, к которым приводит квантовая механика, — которые занимают сильно субъективную точку зрения, согласно которой в действительности никакого реального мира — «там, вовне» — вообще нет! То, что я придерживаюсь где только возможно реалистической линии, отнюдь не означает, что мне неизвестно о том, с какой серьезностью отстаиваются подобные субъективные взгляды, — но я просто не могу придать им смысл. Тех, кто желает ознакомится с мошной и занимательной атакой на субъективизм такого рода, я приглашаю читать книгу Гарднера [1983],глава 1.
140
В частности, Дж. Дж. Бальмер отметил в 1895 году, что частоты спектральных линий водорода удовлетворяют формуле R(n-2 — m-2), где n и m — положительные целые числа (R — постоянная).
141
Возможно, нам не следовало бы слишком легко отказываться от этой «чисто полевой» картины. Эйнштейн, который (как мы увидим в дальнейшем) глубоко сознавал дискретный характер квантовых частиц, провел последние тридцать лет своей жизни, пытаясь построить более общую теорию такого классического типа. Но попытки Эйнштейна, как и все прочие попытки, оказались тщетными. По-видимому, для объяснения дискретной природы частиц необходимо что-то еще помимо классического поля.
