Ричард Фейнман - 5a. Электричество и магнетизм
Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:
(8.16)
где А—площадь каждой обкладки. Если промежуток увеличится на Dz, то
Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна
(8.17)
Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде
то (8.17) можно будет переписать так:
Или поскольку поле между пластинами равно
то
(8.18)
Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q этой пластины, умноженному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель 1/2. Дело в том, что Е0 —это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверхности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е0 в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно Е0/2. Вот отчего в (8.18) стоит множитель 1/2.
Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая виртуальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с другими предметами и полный заряд не мог изменяться.
Фиг. 8.4. Поле у поверхности проводника меняется от нуля до E0=s/e0, когда пересечен слой поверхностного заряда. 1 — проводящая пластина; 2 — слой поверхностного заряда.
А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных перемещениях конденсатор поддерживается при постоянной разности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять
и вместо (8.15) мы бы имели
что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V = Q/C), но с противоположным знаком!
Конечно, сила, действующая между пластинами конденсатора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две пластины с разноименными электрическими зарядами должны притягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуальную работу, производимую источником, заряжающим конденсатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник электричества должен снабдить конденсатор зарядом VDC. Но этот заряд поступает при потенциале V, так что работа, выполняемая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V2DC. Механическая работа .FDz плюс эта электрическая работа V2DC вместе приводят к изменению полной энергии конденсатора на 1/2V2DC. Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится FDz=-1/2 V2DC.
§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла
Рассмотрим теперь применение понятия электростатической энергии в атомной физике. Мы не можем запросто измерять силы, действующие между атомами, но часто нас интересует разница в энергиях двух расстановок атомов (к примеру, энергия химических изменений). Так как атомные силы в основе своей — это силы электрические, то и химическая энергия в главной своей части — это просто электростатическая энергия.
Рассмотрим, например, электростатическую энергию ионной решетки. Ионный кристалл, такой, как NaCl, состоит из положительных и отрицательных ионов, которые можно считать жесткими сферами. Они электрически притягиваются, пока не соприкоснутся; затем вступает в дело сила отталкивания, которая быстро возрастает, если мы попытаемся сблизить их теснее.
Для первоначального приближения вообразим себе совокупность жестких сфер, представляющих атомы в кристалле соли. Строение такой решетки было определено с помощью дифракции рентгеновских лучей. Эта решетка кубическая — что-то вроде трехмерной шахматной доски. Сечение ее изображено на фиг. 8.5. Промежуток между ионами 2,81 Е (или 2,81·10-8 см).
Если наше представление о системе правильно, мы должны уметь проверить его, задав следующий вопрос: сколько понадобится энергии, чтобы разбросать эти ионы, т. е. полностью разделить кристалл на ионы? Эта энергия должна быть равна теплоте испарения соли плюс энергия, требуемая для диссоциации молекул на ионы. Полная энергия разделения NaCl на ионы, как следует из опыта, равна 7,92 эв на молекулу.
Фиг. 8.5. Поперечный разрез кристалла соли в масштабе нескольких атомов.
В двух перпендикулярных к плоскости рисунка сечениях будет такое же шахматное расположение ионов Na и Сl (см. вып. 1, фиг. 1.7).
Пользуясь коэффициентом перевода
и числом Авогадро (количество молекул в грамм-молекуле)
можно представить энергию испарения в виде
Излюбленная единица энергии, которой пользуются физико-химики,— килокалория, равная 4190 дж; так что 1 эв на молекулу — это все равно что 23 ккал/моль. Химик сказал бы поэтому, что энергия диссоциации NaCl равна
Можем ли мы получить эту химическую энергию теоретически, подсчитывая, сколько работы понадобится для того, чтобы распотрошить кристалл? По нашей теории она равна сумме потенциальных энергий всех пар ионов. Проще всего составить себе представление об этой энергии, выбрав какой-то один ион и подсчитав его потенциальную энергию по отношению ко всем прочим ионам. Это даст удвоенную энергию на один ион, потому что энергия принадлежит парам зарядов. Если нам нужна энергия, связанная с одним каким-то ионом, то мы должны взять полусумму. Но на самом деле нам нужна энергия на молекулу, содержащую два иона, так что вычисляемая нами сумма прямо даст нам энергию на молекулу.
Энергия иона по отношению к его ближайшему соседу равна —e2/a, где e2=q2e/4pe0, а а — промежуток между центрами ионов. (Мы рассматриваем одновалентные ионы.) Эта энергия равна —5,12 эв; мы уже видим, что ответ получается правильного порядка величины. Но нам еще предстоит подсчитать бесконечный ряд членов.
Начнем со сложения энергий всех ионов, лежащих по прямой. Считая ион, отмеченный на фиг. 8.5 значком Na, нашим выделенным ионом, сперва рассмотрим те ионы, которые лежат на одной с ним горизонтали. Там есть два ближайших к нему иона хлора с отрицательными зарядами, на расстоянии я от Na каждый. Затем идут два положительных иона на расстояниях 2 а и т. д. Обозначая эту сумму энергий U1, напишем
(8.19)
Ряд сходится медленно, так что численно его оценить трудно,
но известно, что он равен ln2. Значит,
(8.20)
Теперь перейдем к ближайшей линии, примыкающей сверху. Ближайший ион отрицателен и находится на расстоянии а. Затем стоят два положительных на расстоянияхЦ2а. Следующая пара — на расстоянии Ц5а, следующая— наЦ10 а и т. д. Для всей линии получается ряд
(8.21)
Таких линий четыре: выше, ниже, спереди и сзади. Затем имеются четыре линии, которые являются ближайшими по диагонали, и т. д. и т. д.
Если вы терпеливо произведете подсчеты для всех линий и затем все сложите, то увидите, что итог таков:
Это число немного больше того, что было получено в (8.20) для первой линии. Учитывая, что е2/а=-5,12 эв, мы получим
Наш ответ приблизительно на 10% больше экспериментально наблюдаемой энергии. Он показывает, что наше представление о том, что вся решетка скрепляется электрическими кулоновскими силами, в основе своей правильно. Мы впервые получили специфическое свойство макроскопического вещества из наших познаний в атомной физике. Со временем мы добьемся гораздо большего. Область науки, пробующая понять поведение больших масс вещества на языке законов атомного поведения, называется физикой твердого тела.
