Ричард Фейнман - 5a. Электричество и магнетизм
Чтобы мысль была яснее, рассмотрим только одномерный случай. Представим себе коллоидную частицу в виде очень большого (по сравнению с атомом!) шара; тогда мы можем малую часть ее поверхности считать плоскостью. (Вообще, пытаясь понять новое явление, лучше разобраться в нем на чрезвычайно упрощенной модели; и только потом, поняв суть проблемы, стоит браться за более точные расчеты.)
Предположим, что распределение ионов создает плотность зарядов р(х) и электрический потенциал j, связанные электростатическим законом С2j =-r/e0, или в одномерном случае законом
(7.28)
Как бы распределились ионы в таком поле, если бы потенциал подчинялся этому уравнению? Узнать это можно при помощи принципов статистической механики. Вопрос в том, как определить j, чтобы вытекающая из статистической механики плотность заряда тоже удовлетворяла бы условию (7.28)?
Согласно статистической механике (см. вып. 4, гл. 40), частицы, пребывая в тепловом равновесии в поле сил, распределяются так, что плотность n частиц с координатой x дается формулой
(7.29)
где U(x) — потенциальная энергия, k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.
Предположим, что у всех ионов один и тот же электрический заряд, положительный или отрицательный. На расстоянии х от поверхности коллоидной частицы положительный ион будет обладать потенциальной энергией
Плотность положительных ионов тогда равна
а плотность отрицательных
Суммарная плотность заряда
или
(7.30)
Подставляя в (7.28), увидим, что потенциал j должен удовлетворять уравнению
(7.31)
Это уравнение решается в общем виде [помножьте обе его части на 2(dj/dx)и проинтегрируйте по х],но, продолжая упрощать задачу, мы ограничимся здесь только предельным случаем малых потенциалов или высоких температур Т. Малость j отвечает разбавленному раствору. Показатель экспоненты тогда мал, и можно взять
(7.32)
Уравнение (7.31) дает
(7.33)
Заметьте, что теперь в правой части стоит знак плюс (решение не колебательное, а экспоненциальное).
Фиг. 7.7. Изменение потенциала у поверхности коллоидной частицы. D — дебаевская длина.
Общее решение (7.33) имеет вид
(7.34)
где
(7.35)
Постоянные А и В определяются из добавочных условий. В нашем случае В должно быть нулем, иначе потенциал для больших х обратится в бесконечность. Итак,
(7.36)
где А — потенциал при x=0 на поверхности коллоидной частицы.
Потенциал убывает в e раз при удалении на D (фиг. 7.7). Число D называется дебаевской длиной; это мера толщины ионной оболочки, окружающей в электролите каждую большую заряженную частицу. Уравнение (7.36) утверждает, что оболочка становится тоньше по мере увеличения концентрации ионов (n0) или уменьшения температуры.
Постоянную А в (7.36) легко получить, если известен поверхностный заряд а на поверхности заряженной частицы. Мы знаем, что
(7.37)
Но Е это также градиент j
(7.38)
откуда получается
(7.39)
Подставив этот результат в (7.36), мы получим (положив х=0), что потенциал коллоидной частицы равен
(7.40)
Заметьте, что этот потенциал совпадает с разностью потенциалов в конденсаторе с промежутком D и поверхностной плотностью заряда s .
Мы сказали, что коллоидные частицы не слипаются вследствие электрического отталкивания. Но теперь мы видим, что невдалеке от поверхности частицы из-за возникающей вокруг нее ионной оболочки поле спадает. Если бы оболочка стала достаточно тонкой, у частиц появился бы шанс столкнуться друг с другом. Тогда они бы слиплись, коллоид бы осадился и выпал из жидкости. Из нашего анализа ясно, что после добавления в коллоид подходящего количества соли начнется выпадение осадка. Этот процесс называется «высаливанием коллоида».
Другой интересный пример — это влияние растворения соли На осаждение белка. Молекула белка — это длинная, сложная и гибкая цепь аминокислот. На ней там и сям имеются заряды, и временами заряд какого-то одного знака, скажем отрицательного, распределяется вдоль всей цепи. В результате взаимного отталкивания отрицательных зарядов белковая цепь распрямляется. Если в растворе имеются еще другие такие же молекулы-цепочки, то они не слипаются между собой вследствие того же отталкивания. Так возникает в жидкости взвесь молекул-цепочек. Но стоит добавить туда соли, как свойства взвеси изменятся. Уменьшится дебаевская длина, молекулы начнут сближаться и свертываться в спирали. А если соли много, то молекулы белка начнут выпадать в осадок. Существует множество других химических явлений, которые можно понять на основе анализа электрических сил.
§ 5. Электростатическое поле сетки
Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свойство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плоскую систему параллельных проволочек бесконечной длины, промежутки между которыми одинаковы.
Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномерно. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от прежней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале.
Фиг. 7.8. Эквипотенциальные поверхности над однородной сеткой из заряженных проволочек.
На фиг. 7.8 показано примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.
Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую колебательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.
Если проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида
(7.41)
где а — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что никаких изменений по у не заметно.) Полное решение должно состоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.
Испытывая этим уравнением функцию j из (7.41), мы получаем
(7.42)
т.е. Fn(z) должно удовлетворять условию
(7.43)
Итак, должно быть
(7.44)
(7.45)
Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гармоники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z0=a/2pn. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в е2pраз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убывают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля
j0=-E0z.
которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с Fnиз (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом Аn. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифференцирования получилось поле, согласующееся с плотностью зарядов К на проволочках сетки.
Развитым нами методом можно объяснить, почему электростатическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключением промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая намного легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне пригодна для защиты чувствительного электрического оборудования от возмущающих внешних полей.
