Ричард Фейнман - 6. Электродинамика
При конструировании механических систем часто бывает удобно располагать тормозящими силами, пропорциональными скорости. Вихревые токи дают один из наиболее удобных способов получения таких зависящих от скорости сил.
Пример применения подобных сил можно найти в обычном домашнем счетчике — ваттметре. Там имеется тонкий алюминиевый диск, вращающийся между полюсами постоянного магнита. Этот диск приводится в движение маленьким электромотором, вращающий момент которого пропорционален мощности, потребляемой в электросети квартиры. Вихревые токи в диске вызывают силу сопротивления, пропорциональную скорости. Следовательно, скорость диска устанавливается пропорциональной скорости потребления электроэнергии. С помощью счетчика, присоединенного к вращающемуся диску, подсчитывается число оборотов диска. Так определяется полная потребленная энергия, т. е. число использованных ватт-часов.
Согласно формуле (17.22), сила от индуцированных токов, т. е. всякая сила от вихревых токов, обратно пропорциональна сопротивлению. Сила тем больше, чем лучше электропроводность материала. Причина, разумеется, заключается в том, что при малом сопротивлении э. д. с. создает больший ток, а большие токи дают большие механические силы.
Из наших формул мы можем увидеть, как механическая энергия превращается в электрическую энергию. Как и раньше, электрическая энергия, выделяемая в сопротивлении цепи, есть произведение eI, Работа в единицу времени, совершаемая при движении перекладины, есть произведение силы, действующей на перекладину, на ее скорость. Используя для силы выражение (17.21), получаем работу в единицу времени:
Мы видим, что она действительно равна произведению $I, которое мы получаем из (17.19) и (17.20). Снова механическая работа появляется в виде электрической энергии.
§ 6. Взаимная индукция
Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда проволочные катушки неподвижны, а меняются магнитные поля. Описывая образование магнитного поля токами, мы рассматривали только случай постоянных токов. Но если токи меняются медленно, магнитное поле в каждый момент будет примерно такое же, как магнитное поле постоянного тока. Мы будем считать в этом параграфе, что токи всегда меняются достаточно медленно, и можно сказать, что это утверждение справедливо.
На фиг. 17.8 показано устройство из двух катушек, с помощью которого можно продемонстрировать основные эффекты, ответственные за работу трансформатора. Катушка 1 состоит из проводящей проволоки, свитой в виде длинного соленоида. Вокруг этой катушки и изолированно от нее навита катушка 2, состоящая из нескольких витков проволоки. Если теперь по катушке 1 пропустить ток, то, как мы знаем, внутри нее появится магнитное поле. Это магнитное поле проходит также сквозь катушку 2. Когда ток в катушке 1 меняется, магнитный поток тоже будет меняться, и в катушке 2 появится индуцированная э.д.с. Эту индуцированную э.д.с. мы сейчас и вычислим.
В гл. 13, § 5 (вып. 5) мы видели, что магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно
(17.23)
где N1 — число витков в катушке 1, I1 — ток в ней, а l — её длина. Пусть поперечное сечение катушки 1 равно S, тогда поток поля В равен его величине, умноженной на S. Если в катушке 2 имеется N2 витков, то поток проходит по катушке N2 раз. Поэтому э. д. с. в катушке 2 дается выражением
.(17.24)
Единственная меняющаяся со временем величина в (17.23) есть I1. Поэтому э. д. с. дается выражением
(17.25)
Мы видим, что э. д. с. в катушке 2 пропорциональна скорости изменения тока в катушке 1. Константа пропорциональности — по существу геометрический фактор двух катушек, называется коэффициентом взаимной индукции и обозначается обычно m21. Тогда (17.25) записывается уже в виде
(17.26)
Предположим теперь, что нам нужно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна э. д. с. в катушке 1. Мы вычислили бы магнитное поле, которое повсюду пропорционально току I2. Поток сквозь катушку I зависел бы от геометрии, но был бы пропорционален току I2. Поэтому
Фиг. 17.8. Ток в катушке 1 создает магнитное поле, проходящее через катушку 2.
Фиг. 17.9. Любые две катушки обладают взаимной индукцией m, пропорциональной интегралу от ds1·ds2· (1/r12).
э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна dI2/dt. Мы можем записать
(17.27)
Вычисление m 12 было бы труднее, чем те вычисления, которые мы проделали для m 21. Мы не будем сейчас им заниматься, потому что дальше в этой главе мы покажем, что m 12 обязательно равно m 21.
Поскольку поле любой катушки пропорционально текущему в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) приобрели бы одинаковую форму, и только постоянные m 12 и m 21 были бы другие. Их значения будут зависеть от формы катушек и их относительного положения.
Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке 1 можно записать так:
где В — магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае
как контурный интеграл по контуру цепи 2:
(17.29)
где I2 — ток в цепи 2, а r12 — расстояние от элемента цепи ds2 к точке на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи 1 как двойной контурный интеграл:
В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной переменной величиной является ток I2, который не зависит от переменных интегрирования. Поэтому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как
где коэффициент m 12 равен
(17.30)
Из этого интеграла очевидно, что m 12 зависит только от геометрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффициента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для m 12 тождествен с интегралом для m 21. Таким образом, мы показали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты m 12 и m 21 часто обозначают символом m без значков и называют просто коэффициентом взаимной индукции:
m 12= m 21 = m.
§ 7. Самоиндукция
При обсуждении индуцированных э. д. с. в двух катушках на фиг. 17.8 и 17.9 мы рассмотрели лишь случай, когда ток проходит либо в одной катушке, либо в другой. Если токи имеются одновременно в обеих катушках, то магнитный поток, пронизывающий каждую катушку, будет представлять сумму двух потоков, существующих и по отдельности, поскольку к магнитным полям применим принцип суперпозиции. Поэтому э. д. с. в каждой катушке будет пропорциональна не только изменению тока в другой катушке, но и изменению тока в ней самой.
Фиг. 17.10. Цепь с источником напряжения и индуктивностью (а) и аналогичная ей механическая система (б).
Таким образом, полную э. д. с. в катушке 2 следует записать в виде
(17.31)
""Аналогично, э. д. с. в катушке 1 будет зависеть не только от изменяющегося тока в катушке 2, но и от изменяющегося тока в ней самой:
(17.32)
Коэффициенты m 22 и m 11 всегда отрицательны. Обычно пишут
(17.33)
где ж1 и ж 2называют коэффициентами самоиндукции двух катушек (или индуктивностями).
Конечно, э. д. с. самоиндукции будет существовать даже для одной катушки. Любая катушка сама по себе обладает коэффициентом самоиндукции ж и ее
