Ричард Фейнман - 8. Квантовая механика I
Можно и второй прибор устроить так, чтобы он пропускал атомы только в одном определенном состоянии. Для этого нужно поставить внутри него перегородки так, как мы это делали в первом приборе, и тогда можно будет проверять состояние падающего пучка, просто глядя, вышло ли что-нибудь из дальнего конца. Например, если загородить два нижних пути во втором приборе, то все атомы выйдут наружу; если же загородить верхний, то не пройдет ничего.
Чтобы облегчить подобные рассуждения, мы сейчас придумаем сокращенное изображение наших усовершенствованных приборов Штерна — Герлаха. Вместо каждого такого прибора мы будем ставить символ
(Этот символ вы не встретите в квантовой механике; мы попросту выдумали его для этой главы. Он означает просто сокращенное изображение прибора, показанного на фиг. 3.3.) Поскольку мы I собираемся пользоваться несколькими приборами одновременно, имеющими к тому же разную ориентацию, то каждый из них мы будем отмечать буквой внизу. Так, символ (3.1) обозначает прибор S. Загораживая внутри один или больше пучков, мы будем отмечать это вертикальными чертами, показывающими, какой из пучков перекрыт, наподобие
Различные мыслимые комбинации собраны на фиг. 3.5.
Фиг. 3.5. Специальные сокращенные обозначения для фильтров типа Штерна — Герлаха.
Если два фильтра стоят друг за другом (как на фиг. 3.4), мы и символы будем ставить друг за другом:
При таком расположении все, что прошло через первый фильтр, пройдет и через второй. В самом деле, даже если мы перекроем каналы «нуль» и «минус» второго прибора, так что будет
все равно прохождение через второй прибор будет 100%-ным. Но если имеется
то из дальнего конца не выйдет ничего. Равным образом ничего не выйдет и при
С другой стороны,
было бы просто эквивалентно одному только
Теперь мы хотим описать эти опыты квантовомеханически. Мы скажем, что атом находится в состоянии (+S), если он прошел через прибор, изображенный на фиг, 3.5,б, что он находится в состоянии (0S), если прошёл сквозь прибор на фиг. 3.5, в, и что он находится в состоянии (-S), если прошел сквозь прибор на фиг. 3.5, г. Затем пусть <b|a> будет амплитуда того, что атом, который находится в состояний а, пройдя через прибор, окажется в состоянии b. Можно сказать <b|а> есть амплитуда для атома в состоянии а перейти в состояние b. Опыт (3.4) означает, что
<+S|+S>=1,
а (3.5) — что
<-S|+S>=0.
Точно так же и результат (3.6) означает, что
<+ S|-S>=0,
а (3.7)— что
<-S|-S>=1.
Пока мы имеем дело только с «чистыми» состояниями, т. е. пока бывает открыт только один канал, таких амплитуд — всего девять. Их можно перечислить в следующей таблице:
Эта совокупность девяти чисел, именуемая матрицей, подытоживает описанные нами явления.
§ 2. Опыты с профильтрованными атомами
Теперь возникает важный вопрос: что будет, если второй
прибор наклонить под некоторым углом, так чтобы ось его поля больше не была параллельной оси первого? Его можно не только наклонить, но и направить в другую сторону, например повернуть пучок поперек. Вначале для простоты возьмем такое расположение, при котором второй прибор Штерна — Герлаха повернут вокруг оси у на угол а (фиг. 3.6).
Фиг. 3.6. Два последовательно соединенных фильтра типа Штерна — Герлаха.
Второй повернут, относительно первого на угол a.
Такой прибор мы обозначим буквой Т. Пусть мы теперь предприняли следующий опыт:
или такой опыт:
Что в этих случаях выйдет из дальнего конца?
Ответ таков. Если атомы по отношению к S находятся в определенном состоянии, то по отношению к Т они не находятся в том же состоянии, состояние (+S) не является также и состоянием (+T). Однако имеется определенная амплитуда обнаружить атом в состоянии (+Т), или в состоянии (О Т), или в состоянии (-Т).
Иными словами, как бы досконально мы ни убедились, что наши атомы находятся в определенном состоянии, факт остается фактом, что, когда такой атом проходит через прибор, наклоненный под другим углом, он вынужден, так сказать, «переориентироваться» (что происходит, не забывайте, по законам случая). Если пропускать в каждый момент по одной частице, то вопрос можно будет ставить только таким образом: какова вероятность того, что она пройдет насквозь? Некоторые прошедшие сквозь S атомы очутятся в конце в состоянии (+Т), другие — в состоянии (0Т), третьи — в состоянии (-Т), и каждому состоянию отвечает своя вероятность. Эти вероятности можно вычислить, зная квадраты модулей комплексных амплитуд; нам нужен математический метод для этих амплитуд, их квантовомеханическое описание. Нам нужно знать, чему равны различные величины типа
<-T+S>;
под этими выражениями мы подразумеваем амплитуду того, что атом, первоначально бывший в состоянии (+S), может перейти в состояние (-Т) (что не равно нулю, если только S и Г не параллельны друг другу). Имеются и другие амплитуды, например
<+T|0S> или <0T|-S> и т. д.
Таких амплитуд на самом деле девять — это тоже матрица, и теория должна сообщить нам, как их вычислять. Подобно тому как F = ma сообщает нам, как подсчитать, что бывает в любых обстоятельствах с классической частицей, точно так же и законы квантовой механики позволяют нам определять амплитуду того, что частица пройдет через такой-то прибор. Центральный вопрос тогда заключается в том, как сосчитать для каждого данного угла а или вообще для какой угодно ориентации девять амплитуд:
Некоторые соотношения между этими амплитудами мы сразу можем себе представить. Во-первых, согласно нашим определениям, квадрат модуля
— это вероятность того, что атом, бывший в состоянии ( +S), придет в состояние (+Т). Такие квадраты удобнее писать в эквивалентном виде
В тех же обозначениях число
дает вероятность того, что частица в состоянии (+S) перейдет в состояние (0T), а
— вероятность того, что она перейдет в состояние (-Т). Но наши приборы устроены так, что каждый атом, входящий в прибор Т, должен быть найден в каком-то одном из трех состояний прибора Т',— атомам данного сорта нет других путей. Стало быть, сумма трех только что написанных вероятностей должна равняться единице. Получается соотношение
Имеются, конечно, еще два таких же уравнения для случаев, когда вначале было состояние (0S) или (-S). Их очень легко написать, так что мы переходим к другим общим вопросам.
§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штерна — Герлаха
Пусть у нас есть атомы, отфильтрованные в состояние (+S), которые мы затем пропустили через второй фильтр, переведя, скажем, в состояние (О Т), а затем — через другой фильтр (+S). (Обозначим его S', чтобы не путать с первым фильтром S.) Вспомнят ли атомы, что они уже раз были в состоянии (+S)? Иначе говоря, мы ставим такой опыт:
и хотим знать, все ли атомы, прошедшие сквозь Т, пройдут и сквозь S'. Нет. Как только они пройдут фильтр Т, они сразу же позабудут о том, что, входя в Т, они были в состоянии (+S). Заметьте, что второй прибор S в (3.11) ориентирован в точности так же, как первый, так что это по-прежнему фильтр типа S. Состояния, выделяемые фильтром S',— это, конечно, все те же (+S), (0S) и (-S).
Здесь существенно вот что: если фильтр Т пропускает только один пучок, то та доля, пучка, которая проходит через второй фильтр S, зависит только от расположения фильтра Т и совершенно не зависит от того, что было перед ним. Тот факт, что те же самые атомы однажды уже были отсортированы фильтром S, никак и ни в чем не влияет на то, что они будут делать после того, как прибор Т снова отсортирует их в чистый пучок. Отсюда следует, что вероятность перейти в те или иные состояния для них одна и та же безотносительно к тому, что с ними случалось до того, как они угодили в прибор Т, Для примера сравним опыт (3.11) с опытом
