Охота на электроовец. Большая книга искусственного интеллекта - Марков Сергей Николаевич
На картинке ниже изображена визуализация слабого решения для крестиков-ноликов. Пользоваться этой картинкой несложно. Если вы играете за крестики, вам понадобится левое изображение. Первым ходом поставьте крестик в левый верхний угол поля (помеченный на картинке самым крупным красным крестом). В зависимости от хода соперника выберите затем картинку, вписанную в одну из оставшихся восьми клеток поля. Например, если противник поставил свой нолик в правый нижний угол поля, вам нужно взять изображение, расположенное в правом нижнем углу. Красный крестик на нём расположен в правом верхнем углу поля, именно туда вам нужно поставить свой крестик — и так далее. Если вы играете ноликами, используйте аналогичным образом правую картинку.
Благодаря тому, что слабое решение для крестиков-ноликов содержит гораздо меньше позиций, чем в принципе может возникнуть в игре, его удалось изобразить на одной книжной странице. Можете сфотографировать его на камеру телефона и затем использовать в качестве шпаргалки: если будете точно следовать его рекомендациям, то никогда не проиграете в крестики-нолики, а при ошибке противника никогда не упустите победу.
Также существует понятие ультраслабого решения [ultra-weak solution], подразумевающего, что был определён результат при идеальной игре обеих сторон, однако сама последовательность ходов не определена.
3.3.5 Гекс — игра без ничьих
Забавно, что эту игру придумали независимо друг от друга сразу два человека — Пит Хейн в Дании в 1942 г. и Джон Нэш в США в 1948 г. Пит Хейн не менее знаменит среди датчан, чем Джон Нэш среди специалистов по теории игр. Будучи прямым потомком Пита Хейна — старшего, голландского моряка и народного героя XVII в., Пит Хейн — младший приобрёл известность благодаря созданию коротких стихотворных афоризмов, которые он называл «груками» (gruk). Груки были способом, позволявшим Хейну во время фашистской оккупации Дании обходить цензуру и доносить свои мысли до других датчан в иносказательной форме.
Отец кибернетики Норберт Винер был большим почитателем литературного таланта Хейна и так отзывался о его творчестве: «Пит Хейн — мастер эпиграммы. Его следует читать по меньшей мере на двух уровнях — внешнем и более глубоком. И в том и в другом случае они вызывают во мне восхищение. Какое богатство значительных мыслей заключено в них!» Многие строки Хейна стали крылатыми словами и поговорками. Хейн был не только талантливым литератором, но и художником, инженером и изобретателем. Когда Пит Хейн работал в Институте теоретической физики Университета Копенгагена, то именно его Нильс Бор избрал в качестве партнёра по «интеллектуальному пинг-понгу» [533], [534]. Помимо других научных проблем, Хейн размышлял над знаменитой топологической проблемой четырёх красок (теорема, которая утверждает, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными красками так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета), и ему пришла в голову идея новой игры. Хейн рассказал о ней в одной из своих лекций, и через некоторое время её правила опубликовала газета Politiken. Игра быстро стала весьма популярной в Дании — гекс тогда называли «многоугольники» и играли в него на бумаге. Со временем в продаже появились специальные блокноты для игры с напечатанными в них изображениями игровых полей. Задачи по гексу регулярно появлялись в газете Politiken, которая назначала премии за лучшие решения. В 1950-е гг. доски для игры в гекс начала выпускать фирма Parker Brothers, тогда же игра и получила своё современное название — гекс.
Поле для игры в гекс состоит из шестиугольных ячеек. Оно может быть любого размера или формы, но обычно используют поле в форме ромба размером n × n, обычно 11 × 11, 14 × 14 или 19 × 19. Нэш считал наилучшим размером 14 × 14.
Игра ведётся фишками двух цветов (обычно красными и синими). Игроки по очереди ставят фишки своего цвета в свободные ячейки поля. Первый ход делают синие.
Две противоположные стороны поля окрашены в красный и синий цвета и называются красной и синей сторонами соответственно. Ячейки в углах поля являются общими. Чтобы выиграть, игрок должен выстроить цепочку из своих фишек, соединив ею стороны своего цвета, то есть красные стремятся построить цепь из красных фишек между двумя красными сторонами доски, а синие — цепь из синих фишек, соединяющую синие стороны [535].
В отношении гекса авторы статьи в русской «Википедии» утверждают следующее: «Нетрудно заметить, что игра никогда не кончается вничью». Это утверждение напоминает мне анекдот про Лившица и Ландау, в котором первый заливает чаем сорок страниц доказательства, а второй советует заменить эти сорок страниц словами «очевидно, что…».
Джон Нэш был первым, кто указал (примерно в 1949 г.), что гекс не может закончиться ничьей. Это утверждение в разговорной речи иногда называют теоремой гекса. В наши дни известно, что теорема гекса эквивалентна теореме Брауэра о неподвижной точке. Рассуждения Нэша, однако, не были опубликованы в научной прессе, они содержатся во внутреннем техническом отчёте RAND Corporation, подготовленном в 1952 г. Дословно Нэш пишет в нём следующее: «Природа игры такова, что если всё игровое поле заполнено фишками, то либо белые совершили соединение, либо чёрные сделали это (Нэш использовал эти два цвета для фишек играющих сторон. — С. М.). Соединение и блокирование противника являются эквивалентными действиями» [536]. Формальное доказательство было опубликовано Дэвидом Гейлом в 1979 г., то есть более чем через тридцать лет после изобретения игры. На самом деле оно совершенно нетривиальное и содержит десять шагов рассуждения:
1. Возьмём любое поле игры в гекс, все ячейки которого полностью заполнены отметками X (ставит первый игрок) или 0 (ставит второй игрок).
2. Возьмём точку соприкосновения сторон X и 0 в любом углу и от неё нарисуем путь вдоль рёбер, который будет проходить только между шестиугольниками с разными отметками X и 0. При этом края игрового поля мы считаем граничащими со сплошной стеной из шестиугольников с соответствующими стороне отметками (X или 0).
3. Каждая вершина пути будет окружена тремя шестиугольниками, и поэтому путь не сможет содержать самопересечений или петель, поскольку пересекающаяся часть пути должна проходить между двумя шестиугольниками с одинаковыми отметками. Таким образом, путь должен иметь завершение.
4. Путь не может завершаться в середине игрового поля, так как каждый конец пути заканчивается узлом, окружённым тремя шестиугольниками, два из которых должны содержать разные отметки в соответствии с условием построения пути. Поскольку третий шестиугольник не может содержать отметку, отличающуюся одновременно от этих отметок двух других, то путь будет продолжен по одной или другой стороне третьего шестиугольника.
