Владимир Дараган - Игра на бирже
Как проводить такой анализ, мы расскажем позднее, детальнее ознакомившись с финансовыми показателями компаний. Пока же обсудим некоторые подробности оптимальных стратегий игры на бирже в случае, когда блуждания цен акций не случайны, т.е. вероятности их роста и падения различны. Мы постараемся четко сформулировать основные выводы и надеемся, что они помогут начинающему инвестору выбрать такую стратегию, которая даст максимальную прибыль при допустимом для него риске.
§3. Как получать прибыль при неслучайных блужданиях?
Рассмотрим нашу старую модель изменения цены акций. Пусть каждый день цена меняется на один доллар, но вероятность роста (обозначим ее р) не равна вероятности падения (обозначим ее q). Очевидно, что
p + q = 1.Предположим, что вы используете стратегию инвестирования, при которой потери обрезаются при падения цены на S долларов (на этой цене стоит «стоп») и акции продаются с прибылью L долларов, если цена достигла этого предела. В теории случайных блужданий (желающим детальнее ознакомиться с этими вопросами мы рекомендуем книги В. Феллера) доказывается, что P(S) — вероятность того, что цена коснется точки S раньше, чем точки L, т.е. вероятность проигрыша
P(L) — вероятность того, что цена коснется точки L раньше, чем точки S, т.е. вероятность выигрыша
P(L) = 1 - P(S).При такой стратегии ваша средняя прибыль G (в долларах)
G = LP(L) - SP(S).Анализ этих уравнений показывает, что вариант с различными вероятностями роста и падения цены, когда р q, качественно отличается от варианта совершенно случайных блужданий, когда р = q. Средняя прибыль равна нулю лишь тогда, когда р = q. Если р q, средняя прибыль отлична от нуля и, кроме того, вероятности выигрыша или проигрыша начинают зависеть не только от отношения L/S, но и от абсолютных величин L и S. Эти принципиальные моменты, важные для биржевой игры, необходимо рассмотреть подробнее.
Представьте, что вы купили акции по цене 100 долларов за штуку. Данные акции довольно активны, и их цена меняется в среднем на один доллар в день. Вы решаете, что акции могут вырасти до 104 долларов (L = 4), и ставите мысленный предел 104 доллара, когда вы их продадите с прибылью 4%. Для предотвращения больших потерь вы ставите «стоп» на 99 долларов (S = 1), и ваши максимальные потери будут 1 %. Какова вероятность выигрыша Р (L) и какова средняя ожидаемая прибыль G?
Ответ будет зависеть от вероятности р, т.е. от вероятности того, что акции вырастут в цене в течение одного дня. Если р = 0,5 (50% — «случайные блуждания»), то ответ на эти вопросы можно найти в начале данной главы: вероятность выигрыша P(L) = 20 % и средняя ожидаемая прибыль будет равна нулю. А что произойдет, если вероятность р будет равна 0,7 или 0,3? Результаты расчета приведены в таблице 5.2.
Вероятности выигрыша в обоих случаях меньше 60%, хотя средняя прибыль при р = 0,7 положительна и составляет 1,9 долларов, т. е. почти 2%. Это больше, чем средние потери от покупки акций с р = 0,3. Если бы вы купили акции двух компаний с р = 0,7 и с р = 0,3, вложив по 50 % капитала в каждую из них, то средняя прибыль от такого инвестирования составила бы (1,9 - 0,9)/2 = 0,5 % от начального капитала (деление на 2 возникло не из-за усреднения, а потому, что капитал был разделен между двумя компаниями).
Таблииа 5.2.
р P(L) P(S) G 0,3 0,02 0,98 -0,9 0,7 0,58 0,42 1,9Теперь рассмотрим другую важную задачу. Представьте, что вы занимаетесь трейдингом и ваш начальный капитал составляет 100 долларов. Вы покупаете и продаете акции различных компаний, среди которых равновероятно встречаются компании с р = 0,7 и р = 0,3. При этом все деньги, вырученные за продажу очередных акций, вы тратите на покупку следующих, ничего не добавляя и не откладывая. Можно ли получить прибыль при такой стратегии игры? Эта задача близка к методу выбора акций при помощи лука со стрелами, когда вероятности выбора «хороших» и «плохих» компаний практически одинаковы. В таком случае надежду можно возлагать лишь на то, что обрезание потерь «стопами» поможет быстро избавиться от плохих компаний и получить прибыль от хороших. Условия выберем прежние: «стоп» составляет 1 % от стоимости акций, и вы продаете акции, получив 4% прибыли.
Анализ данной задачи аналогичен тому, который был проведен в конце раздела 5.1. Коэффициент роста К вычисляется следующим образом:
К = 1,040,02/2 0,990,98/2 1,040,58/2 0,990,42/2 = 1,008,т. е. он больше единицы, и средняя прибыль на один трейд составляет около 0,8% (коэффициенты ½ в показателях степени возникли из-за равной вероятности выбора компаний с р = 0,3 и р = 0,7). Через 10 трейдов начальный капитал увеличится в среднем в 1,00810 = 1,083 раз, или на 8%.
Из рассмотренных примеров можно сделать простой вывод: выбирая акции даже случайным образом, можно получить прибыль, если ограничивать потери на случай падения акций, а при их росте дожидаться заметного повышения цены акций. Эта простая истина давно известна на биржах, и мы лишь математически показали, что лежит в ее основе. Но не могут ли рассмотренные модели подсказать оптимальные уровни обрезания потерь и помочь сопоставлению планируемых прибылей с потерями?
Ответ на этот вопрос зависит от распределения вероятностей роста и падения акций. Очевидно, что при растущем рынке практически для всех акций вероятность роста больше, чем вероятность падения. Акции компаний популярной отрасли имеют большую вероятность роста, чем акции других компаний. Опытные инвесторы или трейдеры выбирают акции лучше, чем начинающие, поэтому у выбранных ими акций средние вероятности роста больше 0,5.
Математически это описывается с помощью некоторой функции распределения. Положение максимума этой функции приблизительно совпадает со средней вероятностью роста акций. Учитывая задачу этой книги, мы не будем обсуждать тонкие детали возможных типов распределения, а ограничимся одной простой моделью. Многолетние наблюдения за поведением акций показали, что цена большинства из них колеблется в некоторых пределах, но максимальная вероятность у р, близкого к 0,5. Чем больше р отличается от 0,5, тем реже встречаются такие акции. Наша модель как раз и учтет эту закономерность.
Предположим, что распределение вероятностей роста акций максимально при р = 0,5 и равно нулю при р = 0 и при р = 1. Иными словами, число акций, имеющих 50%-ную вероятность роста за день, максимально, а акций, которые будут падать или расти со 100%-ной вероятностью, не существуют. Между этими значениями функцию распределения для простоты представим линейной, и распределение будет иметь форму равнобедренного треугольника. Если рынок растет, то центр этого треугольника будет смещаться вправо, что означает, что число акций с р > 0,5 превышает число акций с р < 0,5. Треугольная форма распределения остается неизменной, а происходит небольшое его смещение вправо. При падающем рынке число падающих акций превосходит число растущих акций, и наш треугольник будет смещаться влево. Мы проведем расчеты для трех положений центра треугольника — в точках 0,4; 0,5 и 0,6. Эта же модель соответствовать и разным вероятностям выбора «хороших» акций новичками (центр распределения в точке 0,4), средним трейдером или инвестором (центр в точке 0,5) и опытными игроками (центр в точке 0,6).
