Владимир Брюков - Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews
Однако сначала давайте посмотрим, насколько устойчива полученная прогностическая модель к внезапному росту волатильности на валютном рынке? Чтобы убедиться в устойчивости этой прогностической модели, необходимо проверить авторегрессионный процесс (AR-структуру этой модели) на стационарность. В EViews провести эту проверку достаточно несложно. При этом следует иметь в виду, что в ходе решения уравнения регрессии (см. алгоритм действий № 6 «Как решить уравнение регрессии в EViews») диалоговое мини-окно EQUATION SPECIFICATION заполняется иначе, а именно вместо записи USDollar USDollar(-l) USDollar(-2) в него надо вставить формулу
USDollar AR(1) AR(2), (5.1)
где AR(1) — переменная с лагом в один месяц;
AR(2) — переменная с лагом в два месяца.
Формула (5.1) по своей математической сути аналогична формуле USDollar USDollar(-l) USDollar(-2), однако ввод в EViews уравнения по этой формуле дает возможность оценить авторегрессионный процесс на стационарность. Естественно, что при выводе итогов мы получим данные, практически аналогичные тем, которые уже содержатся в табл. 4.1. Одно из незначительных отличий заключается в том, что при выводе итогов ранее использовавшиеся обозначения переменных в виде USDOLLAR(-l) и USDOLLAR(-2) будут заменены соответственно на AR(1) и AR(2). Но самое главное заключается в том, что помимо уже известной нам информации в выводе итогов внизу появятся две дополнительные строки, в которых содержится оценка ARMA-структуры этого уравнения на стационарность (табл. 5.1).
Судя по информации в этой таблице, AR-структура этого уравнения оказалась нестационарной, поскольку один из обратных единичных корней оказался больше единицы (подробнее об этом чуть позже). А из нестационарности AR-процесса вытекает вывод, что коэффициенты уравнения авторегрессии будут неустойчивыми. Таким образом, несмотря на довольно неплохие прогностические качества этой статистической модели, ее параметры нельзя назвать достаточно надежными к воздействию внешних «шоков», т. е. к случаям внезапного и резкого повышения курса доллара.
Чтобы точнее оценить степень устойчивости этой прогностической модели, продолжим проверку ее авторегрессионной структуры, тем более что EViews позволяет сделать это с минимальными затратами времени.
Алгоритм действий № 13 Тестирование на стационарность AR-структуры уравнения USDOLLAR = а × USDOLLAR(-1) + b × USDOLLAR(-2) путем нахождения корней характеристического уравненияШаг 1. Нахождение корней характеристического уравнения
С этой целью в меню оцененного уравнения регрессии следует воспользоваться следующими опциями: VIEW/ARMA STRUCTURE (посмотреть/структуру модели ARMА). В результате чего на экране появится диалоговое мини-окно ARMA DIAGNOSTIC VIEWS (посмотреть диагностику модели ARMА).
Если в этом окне (рис. 5.1) выбрать опции ROOTS (корни) и TABLE (таблица), то в результате у нас получатся обратные корни характеристического уравнения в виде табл. 5.2. Судя по таблице, один из корней (по модулю) этого характеристического уравнения оказался больше единицы.
Шаг 2. Интерпретация корней характеристического уравнения
Чуть ниже мы остановимся подробнее на специфике корней, получаемых в результате решения характеристического уравнения. А сейчас отметим их самое важное для нас свойство: в том случае, когда абсолютные значения (по модулю) всех обратных корней этого уравнения меньше единицы, т. е. лежат внутри единичного круга, то этот авторегрессионный процесс можно считать стационарным, а следовательно, обладающим устойчивыми вероятностными характеристиками. Если же хотя бы один из обратных корней характеристического уравнения больше единицы, т. е. лежит за пределами единичного круга, то тогда авторегрессионный процесс является нестационарным.
Шаг 3. Построение графика корней характеристического уравненияЕсли в мини-окне ARMA DIAGNOSTIC VIEWS выбрать опции ROOTS (корни) и GRAPH (график), то в этом случае мы получим обратные единичные корни характеристического уравнения в наглядном, графическом виде. Судя по рис. 5.2, один из корней находится внутри единичного круга, в то время как другой корень, хотя и расположен довольно близко к этому кругу, но все-таки лежит за его пределами. При этом следует иметь в виду, что горизонтальная ось на этом графике показывает фактические значения полученных обратных корней характеристического уравнения, в то время как вертикальная ось — их воображаемые значения.
Теперь остановимся несколько подробнее на процедуре получения обратных единичных корней, с помощью которой в EViews доказывается стационарность AR-процессов. В главе 4 уже говорилось, что в основе теории единичного корня лежит довольно простая формула (4.4), которая считается базовой для понимания стационарности в уравнениях авторегрессии:
При этом уравнение авторегрессии 1-го порядка считается стационарным в том случае, когда коэффициент регрессии ρ < 1. Соответственно, если ρ > 1, то оно считается нестационарным, а следовательно, волатильность в процессе авторегрессии с течением времени может нарастать и стремиться к бесконечности.
Применительно к авторегрессионным процессам, содержащим большое количество лаговых переменных, наличие стационарности предполагает следующее. AR-процессы считаются стационарными в том случае, если в уравнении (5.2) коэффициенты а1, а2…., ар образуют сходящийся ряд и все корни характеристического уравнения 1 — a1Z — a2Z2 — … — apZp = 0 (вещественные и комплексные) должны лежать вне единичного круга (см. рис. 5.2), их абсолютное значение (по модулю) должно быть больше единицы.
Например, для решенного нами уравнения авторегрессии USDOLLAR = 1,321092 × USDOLLAR(-l) — 0,319415 × USDOLLAR(-2) (см. формулу (4.3)) характеристическое уравнение приобретает следующий вид:
1 — 1,321092Yt-1 + 0,319415Y2t-1 = 0. (5.3)
Корни в этом уравнении находятся с помощью известной со школьной скамьи формулы по нахождению корней в многочлене второй степени:
Отсюда следует, что первый единичный корень x1 = 3,138429, а второй х2 = 0,997545. Таким образом, один из этих двух корней характеристического уравнения лежит внутри единичного круга, а потому этот авторегрессионный процесс нельзя назвать стационарным. Однако мы уже говорили, что в EViews находятся не просто единичные корни, а именно ОБРАТНЫЕ единичные корни, которые мы получаем в выводе итогов (см. табл. 5.1) после небольших дополнительных вычислений. При этом первый и второй обратные единичные корни находятся из обычных единичных корней, полученных из уравнения (5.3), следующим образом: х1 = 1: 3,138429 = 0,318631, а второй х2 = = 1: 0,997545 = 1,002461.
