Владимир Карцев - Ньютон
Первая — это учебник Вильяма Утреда. Утред умер всего 3–4 года назад, оставив себе памятником труд по арифметике и правило умножения чисел столбиком. Ван Схоутен был попроще — обычным учителем, перелагавшим на немудрёный школярский язык сложные геометрические эссе Виета и Декарта.
А вот Франсуа Виет был, возможно, первым, кто понял, как алгебра нужна геометрии. Отринув путы общепринятого в те поры словесного объяснения математических операций, он ввёл изящнейшее выражение известных и неизвестных величин посредством букв и использовал специальные обозначения для указания степеней. Создав элементарную алгебру («анализ»), он сам вписал в неё первые главы, дав известную формулу связи между корнями и коэффициентами уравнений. (Франсуа Виет знал и иную, тайную славу: его математический талант помог разгадать сложнейший шифр, которым пользовались для переписки испанский король Филипп II и его наместник в Нидерландах Фарнезе, и тем оказал большую услугу своей стране и её королю — Генриху IV французскому.)
Но именно Декартова геометрия стала для Ньютона главным откровением. В «Аналитической геометрии» алгебра шла рука об руку с геометрией, извлекая из этого альянса неведомые ранее преимущества. Система прямоугольных координат с осями «x» и «y», алгебраическое толкование различных геометрических понятий открывали перед математиками новые горизонты, а может быть, и просто новый мир.
Декарт ввёл в математику существующий до сих пор алгебраический стиль обозначений. Первые буквы алфавита он отдал заданным, известным величинам, а последние — неизвестным. Многие ворчали, не признавая Декартовых новаций. Паскаль смеялся над ними, а Чирнгауз ругательски ругал. Но, заменив цифровые обозначения буквенными, Декарт дал математикам необычайную свободу и лёгкость. Буквы позволяли подмечать то, что раньше тонуло в цифрах, в громоздких арифметических выкладках. В математику вошла диалектика. Рано или поздно должно было появиться дифференциальное и интегральное исчисление.
Это неизбежно должно было случиться и потому, что на математику наступала практика. Морские капитаны, чиновники адмиралтейства, астрономы, оптики, механики, торговцы требовали от математики решения заботящих их задач: найти точные размеры тел сложной формы. Вычислить объём винной бочки! Найти центр тяжести некоторой фигуры! Определить форму орбиты планеты! Определить площадь замысловатого участка земли! Нарисовать точную карту новой территории! И ещё великое множество задач и проблем требовало от математики односложного и прямого ответа.
Многие из этих задач известны с древности, но лишь математики XVII столетия разработали эффективные приёмы, связанные с использованием бесконечно малых величин, завершившиеся величайшим открытием Ньютона — дифференциальным и интегральным исчислением.
Ньютон подошёл к этому своему открытию лишь после того, как уже вдоволь наигрался на декартовой плоскости с кривыми второго порядка, любимыми Пьером Ферма. Здесь был Олимп знаний времени, но Ньютон даже не остановился на нём, без усилия и передышки перейдя к кривым третьего порядка. Он быстро оснастил эти кривые, как Пьер Ферма, осями, вершинами, центрами, диаметрами и асимптотами, произвёл классификацию этих кривых и проработал их теорию.
Невозможно представить себе другой пример столь быстрого расцвета математического гения. За год-два провинциал, неофит, ничем пока себя не проявивший школяр смог не только вписать новые главы в самые сложные страницы анализа, но и превратиться в основоположника современной математики.
На рождество 1664 года, в свой день рождения, Исаак решил сделать самому себе подарок: составить список задач, которые он ещё не решил. Сначала их было двенадцать, затем число их росло, одни заменялись другими (о чём свидетельствуют чернила разной плотности в кембриджском блокноте), пока их не стало двадцать две. Задачи были такого типа: найти оси, диаметры, центры, асимптоты различных кривых, сравнить кривизну их с кривизной круга, найти наибольшую и наименьшую кривизну, построить касательную к кривой…
А уже через несколько дней после рождества он получил подарок и от Кембриджа — его произвели в бакалавры. Без всяких экзаменов, без унизительного стояния на «квадрагезиме» — арене позора. Если бы он не миновал этой неизбежной ступеньки, он должен был бы в конце концов избрать для себя один из двух путей — или вернуться в Вулсторп и стать помимо своей воли полновластным хозяином поместья, или же принять священный сан и получить в лучшем случае — приход Северного Уитэма, приход его отчима — Барнабы Смита, а в худшем — место домашнего священника у какого-нибудь аристократа или разбогатевшего торговца, по существу, место мальчика на побегушках, подходящая партия для горничной, конечно, в том случае, если на неё не польстится дворецкий.
А экзаменов не было потому, что комета 1664 года сказала правду. Пронёсся слух о том, что из Лондона наступает чума. Сколеров подходящего стажа произвели в бакалавры без излишних формальностей.
…А может быть, это было и неплохо — то, что он с опозданием узнал классическую геометрию. Для него уравнения были не просто иллюстрацией геометрических построений, но имели собственный смысл, отражая собой саму Природу…
Внимание его сосредоточивалось не столько на кривых, сколько на уравнениях. Он изучал уравнения, описывающие всевозможные кривые, всячески упрощал их, используя самые неожиданные оси координат. Он свободно обращался с декартовой плоскостью, легко передвигал по ней прямые и кривые, видя за этим изменения соответствующих уравнений и их корней, без устали сталкивал на плоскости различные фигуры, с любопытством наблюдая за их взаимодействием. Уже в мае 1665 года он нашёл теорему, переоткрытую в 1720 году его последователем Колином Маклореном: о числе точек пересечения двух кривых разных порядков.
«А вот теперь, — вспоминал Ньютон, — я расскажу ещё о том, каким образом я впервые получил ряды… В начале моих занятий математикой, когда я натолкнулся на работу знаменитого Валлиса, я рассматривал те ряды, путём интерполяции которых Валлис получал площадь круга и гиперболы…»
Из последней фразы видно, что Ньютон шёл к своему открытию вполне традиционным путём — через квадратуры. Упрощённое вычисление сложных площадей всегда было одной из центральных задач математики. Исстари известны способы точного вычисления площадей квадрата, прямоугольника, треугольника. И всё. Но исстари же известно, что площади, ограниченные кривыми линиями, вычислять чрезвычайно сложно. И даже не из-за бесконечного разнообразия кривых линий. А из-за того, что различные кривые линии трудно наложить одна на другую. Как определить, например, что один эллипс именно вдвое больше по площади, чем другой?
