Лев Понтрягин - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим
⚫ задачи управления в условиях неполной информации;
⚫ задачи идентификации и наблюдения в механике полёта на основе минимаксных критериев точности.
Кроме того, идеи принципа максимума проникли в ряд нетрадиционных областей управления и стимулировали развитие следующих научно-технических направлений:
⚫ численные методы оптимизации (методы поиска экстремума функции многих переменных на основе различной информации о функции);
⚫ методы аппроксимации, интерполяции и сглаживания функции и их приложения к задачам аналитического описания геометрии внешних форм летательных аппаратов, автоматизация изготовления аэродинамических моделей на станках с ЧПУ (числовым программным управлением) и др. актуальным и перспективным задачам разработки систем автоматизации проектирования летательных аппаратов (САПР ЛА);
⚫ разработка методов построения законов и систем управления, позволяющих реализовать преимущества оптимальных режимов и оптимальных траекторий;
⚫ методы оптимального управления аэродинамическими трубами и др. Многие из рассмотренных выше вопросов входят в программы спецкурсов, читаемых на кафедре механики полёта в МФТИ.
Заместитель начальника ЦАГИ, член-корреспондент АН СССР Г. С. Бюшгенс
43
Книга В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко и Л. С. Понтрягина «Математическая теория оптимальных процессов» была опубликована в 1961 г., переиздавалась в 1969, 1976 и 1983 гг. Переведена на ряд иностранных языков.
В 1989 г. (М.: Наука) вышла книга Л. С. Понтрягина «Применение принципа максимума в оптимальном управлении», содержащая основные результаты коллективной монографии. Переиздана в 1998 г. (Принцип максимума. М.: Фонд математического образования и просвещения).
44
Первое издание книги Болтянский В. Г. «Математические методы оптимального управления» было опубликовано в 1966 г., второе — в 1969 г.
45
См. работу «Оптимальные процессы регулирования» (УМН, 1959, т. 14, № 1, с. 3–20).
46
Книга Л. С. Понтрягина «Обыкновенные дифференциальные уравнения» издавалась на русском языке в 1961, 1965, 1970, 1974 и 1982 гг. Переведена на английский, китайский, японский, немецкий, болгарский, польский и испанский языки.
В 1975 г. за эту книгу Л. С. Понтрягину была присуждена Государственная премия СССР.
47
На русском языке опубликованы сборники докладов на математических конгрессах: Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г.: Обзорные доклады (М.: Физматгиз, 1961); Международный математический конгресс в Эдинбурге 1958 г.: Обзорные доклады (М.: Физматгиз, 1962); Труды международного конгресса математиков. Москва, 1966 (М.: Мир, 1968); Международный конгресс математиков в Ницце, 1970: Доклады советских математиков (М.: Наука, 1972).
48
На русском языке опубликована книга Р. Айзекса «Дифференциальные игры» (М.: Мир, 1967).
49
См. книгу Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
50
Первое издание книги Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих» было опубликовано в 1960 г., пятое — в 1970-м.
Уместно привести отрывок из предисловия Я. Б. Зельдовича к пятому изданию книги:
«Уже в заглавии книги выражена задача — дать читателю первое представление о дифференциальном и интегральном исчислении и, применяя эти методы к важнейшим разделам физики, показать значение и силу высшей математики...
За годы, прошедшие после первого издания (1960 г.), отшумели дискуссии, в которых автора обвиняли в математической нестрогости и чуть ли не в развращении молодёжи приблизительным, легкомысленным.
В сущности сталкивались два различных подхода к обучению.
Во многих учебниках изложение ведётся в форме, напоминающей диспут двух учёных. Учащийся представляется как противник, выискивающий всевозможные возражения. Педагог последовательно, строго логически разбирает эти возражения одно за другим и неопровержимо доказывает правильность своих положений.
В предлагаемой книге учащийся рассматривается как друг и союзник, который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к природе, к технике те математические приёмы, которые ему предлагают. Понимание приходит в результате анализа примеров и применений. В строго логическом подходе вопрос о значении и пользе изучаемых теорем остается в тени. В предлагаемой книге на переднем плане показаны именно математические идеи и связь их с изучением природы.
Может быть, недостаточное внимание к строгим доказательствам есть проявление потребительного подхода к математике со стороны автора-физика? Мне кажется, что это не так; продвижение математики вперёд совершается также с помощью интуиции, в терминах общих идей, попросту говоря — с помощью вдохновения, а не холодного расчёта. Только потом работа обращается в броню формул и цепь строгих доказательств; в учебниках часто оказываются запрятанными, затушеванными идеи, вдохновлявшие творцов.
Восьмидесятилетний патриарх современной математики Рихард Курант писал в 1964 году, что очень долго математики принимали геометрию Евклида за образец строгого аксиоматического подхода, строгой логической дедукции (вывода). Но вот что пишет дальше Курант:
"Упор на этот [аксиоматический, логический] аспект полностью дезориентирует того, кто предположит, что созидание, воображение, сопоставление и интуиция играют только вспомогательную роль в математическом творчестве и в настоящем понимании.
В математическом образовании действительно дедуктивный способ, начинающий с догматических аксиом, позволяет быстрее обозреть большую территорию. Но конструктивный способ, идущий от частного к общему и избегающий догматического принуждения, надёжнее ведёт к самостоятельному творческому мышлению".
Итак, воображение и интуицию Курант ставит на первое место!
Пресловутое противопоставление лириков и физиков (а заодно и математиков) придумано поэтом Б. Слуцким, т.е. "лириком". В математике, как и в других естественных науках, больше поэзии, чем думают профессионалы-лирики. История науки показывает, что хорошая математика имеет пророческий дар: математический анализ известного открывает путь дальше, в новые неизвестные области, ведёт к созданию новых физических понятий.
