В Левшин - Искатели необычайных автографов
- Спокойной ночи, Блез!
- С добрым утром, Жаклина.
ДВА ВЕЛИКИХ "Д"
Все громче поют ступеньки, все явственней хруст накрахмаленных юбок. Сейчас скрипнет тяжелая створка, и в комнату войдет она, девочка, испуганно льнувшая к материнским коленям в тот тревожный овернский вечер: Жильберта Паскаль, нет, Жильберта Перье, теперь уже и сама счастливая мать одного, а то и двух младенцев. Вот она у порога. Вот поворачивается медная, жарко начищенная дверная ручка...
Трах! Что такое? Комната исчезает, и глаза филоматиков с размаху упираются в кровлю интендантского дома. Несносный бес! Дразнит он их, что ли? Если так пойдет дальше, об автографе Паскаля можно забыть.
Изложив этот свой мрачный прогноз, Мате погружается в гробовое молчание, где и пребывает довольно долго, вопреки адским стараниям Асмодея извлечь его оттуда и восстановить дипломатические отношения. Измученный бес совсем было отчаялся в успехе, но тут у него мелькает счастливая мысль.
- Наидрагоценнейший, наиобразованнейший, наивеликодушнейший мсье Мате! - сладко поет он. - Окажите милость бедному черту. Я, как вы знаете, не профессиональный математик. У меня другая специальность... кха, кха! Так вот, не объясните ли вы подробнее, в чем смысл расхождений между двумя великими "Д"? Я хочу сказать, между Декартом и Дезаргом.
- Де, де! То есть да, да! - присоединяется Фило. - Я тоже не очень в этом разобрался.
- Что ж тут разбираться? - хмурится Мате (как и предполагал Асмодей, он, конечно, не устоял перед соблазном поболтать о математике). - Вы же слышали: Дезарг признавал геометрию в чистом виде, Декарт алгебраизировал ее.
- Но какой из двух методов лучше? - допытывается Фило.
- Гм... Ну, если говорить о методе Декарта, то это прежде всего метод совершенно универсальный. Пользуясь им, большинство геометрических задач можно решить с помощью элементарной алгебры. А лет эдак через тридцать, когда появится дифференциальное и интегральное исчисление, возможности аналитической геометрии Декарта станут и того больше...
- Э, нет! - протестует Фило. - Вы уклоняетесь от прямого ответа. Помнится, вас спрашивали, чей метод лучше? Декарта или Дезарга?
- Хуже, лучше... Все это понятия относительные. Что лучше: пароход или самолет?
- Вы меня спрашиваете? - уточняет Фило. - Лично я предпочитаю такси.
- Такси - городской транспорт, а я говорю о междугородном.
- Ну, тогда все зависит от обстоятельств. Если едешь в очередной отпуск, нет ничего приятнее речного теплохода. Если же в срочную командировку - тут уж необходим самолет.
- Видите, - говорит Мате, - все, стало быть, зависит от сферы применения. То же и с методами двух "Д". Удивительно красивый, хоть и сложноватый, способ Дезарга имеет неоспоримые преимущества при решении задач практических: в землемерии, в инженерном деле... Кстати сказать, Дезарг и сам отличный военный инженер.
- Как же, как же! - сейчас же вклинивается бес. - Участник знаменитой осады Ла Рошели52.
- Вот я и говорю, - продолжает Мате, будто не слыша, - в инженерном деле без чертежей не обойтись. Подсуньте токарю алгебраическое уравнение вместо вычерченной во всех проекциях детали - он вас так поблагодарит, что не обрадуетесь! В этом случае метод Дезарга, усовершенствованный в восемнадцатом веке другим французским ученым, Монжем, не то что лучший, а просто-напросто единственно возможный. Если же говорить о теоретической или так называемой чистой математике - здесь уже уместнее способ Декарта.
- Ко-ко-ко! - вкрадчиво кудахчет черт. - Как говорится, Декарту и карты в руки!
Но Мате и бровью не ведет.
- Допустим, - говорит он, - нам дан воображаемый треугольник, и мы должны выяснить все, что с ним связано: площадь, размеры сторон, углов, биссектрис, высот, медиан, радиуса вписанного и описанного кругов, в свою очередь - их площади, а также длины их окружностей - словом, всю подноготную! Так вот, методом Декарта все это можно вычислить без единого чертежа, зная всего лишь координаты трех вершин, то есть шесть чисел.
Фило потрясен. Этот Декарт - настоящий фокусник! Выходит на сцену почти с пустыми руками, не имея ничего, кроме трех точек, а через несколько минут все кругом завалено биссектрисами, медианами и всякими там вписанными и описанными окружностями... Ну, а Дезарг? Как вычислял эти штуковины он?
Оказывается, никак. Он вообще ничего не вычислял - только чертил. Проектировал разные геометрические тела и фигуры на всевозможные поверхности и изучал свойства проекций (оттого-то геометрия его и называется проективной). Возьмет, например, конус, проведет через его вершину различные плоскости, спроектирует на них круговое сечение конуса и исследует, что у него получилось.
Но Фило уже вошел во вкус, и общие слова его не устраивают. Он непременно хочет знать, что именно получилось у Дезарга, и услыхав, что это окружность, эллипс, парабола и гипербола, впадает в тихое умиление. Подумать только! То самое, что они проходили на исфаханском базаре!
- По-моему, мы там проходили мимо верблюда, - острит Мате.
Но Фило не до шуток. Неужели Мате не помнит? Они брали бумажный фунтик, то есть конус, и рассекали его воображаемыми плоскостями. При этом у них, совсем как у Дезарга, тоже получались окружность, эллипс, парабола и гипербола.
- Вся штука в том, что Дезарг добывал их другим способом: с помощью проекций. Понимаете?
- Вполне! Кстати, что такое проекция?
Мате закатывает глаза с видом мученика. Не знать, что такое проекция! Бывает же... Что ж, придется объяснять. Но вот вопрос: где? Сказать по правде, ему еще не доводилось чертить, кувыркаясь в воздухе.
- Знаете что? Давайте посидим на той крыше! - вдохновенно предлагает Фило. - Она вроде бы не такая покатая.
- Удачнейший выбор, мсье! - живо откликается бес, который и сам не прочь отдохнуть. - Крыша руанской судебной палаты. Самое подходящее место, чтобы судить о чем бы то ни было, в том числе о достоинствах метода Дезарга. Ко-ко...
Через минуту они уже сидят на твердой черепичной почве, для удобства покрытой Асмодеевым плащом.
- Может, позавтракаем? - осторожно заикается Фило.
- Вы, кажется, проекциями интересовались, - обрывает его Мате и лезет за своим блокнотом. - Начнем с проекции, которая называется центральной.
Он набрасывает контур некой произвольной фигуры, на некотором расстоянии от нее обозначает плоскость...
- Допустим, нам надо спроектировать вот эту фигуру на эту вот плоскость. Выберем точку вне заданной фигуры - назовем ее центром проекций - и проведем из нее лучи через точки контура до пересечения с плоскостью. Точки пересечения объединим одной линией - и проекция готова.
- Как просто! - удивляется Фило. - К тому же очень похоже на то, что мысленно делает художник, когда хочет изобразить предмет в перспективе.
- Всегда говорил, что искусству без науки не прожить, - походя ввертывает Мате. - Но давайте все же не отвлекаться! Следующая разновидность - проектирование параллельное. В этом случае лучи проводятся не из одного центра, а из каждой точки проектируемого контура.
Фило тычет в чертеж пухлым, по-детски оттопыренным пальцем.
- А почему ваши лучи косые?
-Так мне хочется! Имею полное право проводить лучи в любом направлении, с тем условием, чтобы все они были параллельны друг другу. Если же я проведу их не наклонно, а перпендикулярно к плоскости проекций, это уже будет проекция ортогональная. Самая, пожалуй, необходимая из всех, потому что именно она используется в начертательной геометрии.
Фило понимающе кивает. Начерталка! У его соседа-студента от одного этого слова нервный тик делается.
Мате признает, что предмет и в самом деле свирепый. Но, увы, без него, так же, впрочем, как и без сопромата, нет настоящего инженера-конструктора!
- Наивосхитительнейший мсье Мате, - жалобно взмаливается бес, делая еще одну отчаянную попытку вернуть расположение разобиженного математика, не могли бы вы познакомить меня хоть с одной из работ Дезарга? Я так давно об этом мечтаю!
- Хм... - Мате с досадой отмечает, что злость его на Асмодея испаряется с катастрофической быстротой. - Как-нибудь в другой раз. Впрочем, если вам так уж хочется... - Он решительно хлопает себя по колену. - Ну да ладно, хватит дуться! Вот вам одна, зато чрезвычайно важная, теорема проективной геометрии. Она так и называется: теорема Дезарга.
Он вычерчивает небольшой треугольник, поясняя, что размеры его сторон в данном случае никакого значения не имеют, ставит где-то слева от него точку и проводит из нее три луча так, что каждый из них проходит через одну из вершин треугольника.
- Центральное проектирование, - глубокомысленно определяет Фило.
- Не совсем так, - морщится Мате. - Вернее даже, совсем не так. Ну да сейчас не в том дело... Строим второй треугольник, тоже с тем расчетом, чтобы каждая из трех его вершин оказалась на одном из трех лучей... Незачем говорить, что таких треугольников можно нагородить сколько угодно. А теперь продолжим в одном и в другом треугольнике те стороны, концы которых лежат на общих лучах, до тех пор, пока они не пересекутся. Точки пересечения обозначим пожирнее и увидим, что все они, эти точки, лежат на одной прямой.
