Яков Перельман - Фокусы и игры
1) предмет перемещать только в тот квадрат, который окажется свободным;
2) нельзя передвигать предметы по диагонали квадрата;
3) нельзя переносить один предмет поверх другого;
4) нельзя также помещать в квадрат более одного предмета, даже временно.
Эта задача имеет много решений, но интересно найти самое короткое, т. е. обменять местами чайник и молочник за наименьшее число ходов.
Рис. 2. Стол, накрытый к чаю
В поисках решения незаметно прошел вечер; я покидал станцию, так и не найдя кратчайшего решения.
Может быть, читатели найдут его? На всякий случай предупреждаю, что искомое наименьшее число ходов все же больше дюжины, хотя и меньше полутора дюжин.
Рис. 3. В гараже
3. Автомобильный гараж
На нашем чертеже изображен план автомобильного гаража с помещениями для двенадцати автомобилей. Но помещение так неудобно, так мало, что у заведующего гаражом постоянно возникают затруднения. Вот одно из них. Предположим, что восемь автомобилей стоят так, как показано на рис. 3. Автомобили 1, 2, 3 и 4 необходимо поменять местами с автомобилями 5, 6, 7 и 8.
Как это сделать за наименьшее число переездов?
Надо заметить, что два автомобиля двигаться одновременно не могут и что в каждом отсеке гаража помещается только один автомобиль.
4. Три дороги
Три брата – Петр, Павел и Яков – получили невдалеке от их домов три участка земли, расположенные рядом. Каждый устроил на своем участке огород. Как видно из рис. 4, дома Петра, Павла и Якова и отведенные братьям земельные участки расположены не совсем удобно.
Но братья не могли договориться об обмене. А так как кратчайшие пути к огородам пересекались, то между ними вскоре начались столкновения, перешедшие в ссоры. Желая прекратить распри, братья решили отыскать такие пути к своим участкам, чтобы не пересекать друг другу дороги.
Рис. 4. Три дома – три участка
После долгих поисков они нашли такие три пути и теперь ежедневно ходят на свои огороды, не встречаясь друг с другом.
Можете ли вы указать эти пути?
5. Муха на занавеске
На оконной занавеске с рисунком в клетку уселись 9 мух. Случайно они расположились так, что никакие две мухи не оказались в одном и том же ряду – ни прямом, ни косом (рис. 5).
Рис. 5. Мухи на занавеске
Спустя несколько минут три мухи сменили места и переползли в соседние, незанятые клетки; остальные 6 не двигались. Но забавно: хотя три мухи перешли на другие места, все 9 снова оказались размещенными так, что никакая пара не находилась в одном прямом или косом ряду.
Можете ли вы сказать, какие три мухи и куда пересели?
6. Дачники и коровы
Вокруг озера расположены четыре дачи, а почти прямо на берегу – четыре коровника (рис. 6).
Рис. 6. Дачники и коровы
Владельцы дач хотят соорудить сплошной забор так, чтобы озеро было закрыто от коров, но в то же время доступно для дачников, любящих купаться.
Исполнимо ли их желание? Если исполнимо, то как нужно построить забор, чтобы он имел наименьшую длину и, следовательно, обошелся возможно дешевле?
7. Десять домов
Некто желал построить 10 домов, соединенных между собой крепкими стенами. Стены должны тянуться пятью прямыми линиями, с четырьмя домами на каждой.
Приглашенный архитектор представил план, который вы видите здесь на рис. 7.
Рис. 7. Дома и стены
Этим планом заказчик остался недоволен: ведь при таком расположении можно подойти свободно к любому дому, а ему хотелось, чтобы если не все, то хоть один или два дома были защищены стенами от нападения извне. Архитектор вообразил, что нельзя удовлетворить этому условию, раз 10 домов должны быть расположены по 4 на каждой из пяти линий. Но заказчик настаивал на своем. Долго ломал архитектор голову над этой задачей и, наконец, решил ее.
Может быть, и вам посчастливится найти такое расположение 10 домов и 5 соединяющих их прямых стен, чтобы требуемое условие было выполнено.
8. Деревья в саду
В саду росло 49 деревьев, и вы можете видеть на рис. 8, как они были расположены. Садовник нашел, что деревьев слишком много; он желал расчистить сад от лишних деревьев, чтобы удобнее было разбить цветники. Позвав работника, он дал ему такое распоряжение:
– Оставь только 5 рядов деревьев, по 4 в каждом ряду. Остальные сруби и возьми себе на дрова.
Когда рубка кончилась, садовник вышел посмотреть работу. К его огорчению, сад был почти опустошен: вместо 20 деревьев работник оставил только 10, срубив 39 деревьев!
– Почему ты вырубил так много? Ведь тебе сказано было оставить 20 деревьев, – упрекал его садовник.
– Нет, не 20, мне сказано было оставить 5 рядов по 4 дерева в каждом. Я так и сделал – посмотрите.
Рис. 8. Сад до вырубки деревьев
И в самом деле, садовник с изумлением убедился, что оставшиеся на корню 10 деревьев образуют 5 рядов по 4 дерева в каждом. Приказание его было исполнено буквально, но вместо 29 деревьев работник вырубил 39.
Как он ухитрился это сделать?
9. Белая мышь
Все 13 мышей, окружающие кошку (рис. 9), обречены попасть ей на обед. Но кошка желает съесть их в определенном порядке: каждый раз она отсчитывает по кругу, в том направлении, в каком мыши глядят, 13-ю, и съедает ее.
Рис. 9. Кошка и мышки
С какой мыши она должна начать, чтобы белая оказалась съеденной последней?
10. Из 18 спичек
Из 18 спичек нетрудно сложить два четырехугольника так, чтобы один был вдвое больше другого по площади (рис. 10).
Но сложите из тех же спичек два таких четырехугольника, чтобы один был в три раза больше другого по площади!
Рис. 10. Спичечная геометрия
Решения задач 1-10
1. Ниже указан самый короткий способ обмена. Цифры показывают, с какого пня на какой надо прыгать (например, 1–5 означает, что белка прыгает с 1-го пня на 5-й). Всех прыжков понадобится 16, а именно:
1 – 5;
3– 7,7–1;
8– 4, 4–3, 3–7;
6-2, 2–8, 8–4, 4–3;
5 – 6, 6 – 2, 2 – 8; 1 – 5, 5 – 6;
7-1.
2. Для удобства заменим чайную посуду цифрами (рис. 11).
Рис. 11. Задачи о перестановке чайной посуды
Тогда задача представится в таком виде: надо поменять местами предметы 2 и 5. Вот порядок, в каком их следует передвигать на свободный квадрат:
2, 5,4,2,1,3,2,4, 5,1,4,2,3,4,1, 5,2.
Задача решается в 17 ходов; более короткого решения нет.
3. В таблице показаны по порядку все переезды, необходимые для того, чтобы помочь заведующему гаражом выйти из затруднительного положения. Цифры обозначают номера автомобилей, а буквы – соответствующие помещения. (6-С означает, что автомобиль 6 ставится в отделение С и т. п.)
Всех переездов понадобится 43. Вот они:
4. Три непересекающихся пути показаны на рис. 12.
И Петру, и Павлу приходится идти довольно извилистой дорогой – но зато братья избегают нежелательных встреч.
5. Стрелки на рис. 13 показывают, какие мухи переменили место и с каких клеток они пересели.
6. Забор можно поставить двумя способами (рис. 14 а, б).
Рис. 12. Три непересекающихся пути
Рис. 13. Мухи на занавеске (в новой позиции)
Забор, построенный по второму плану (рис. 14 б) короче и, следовательно, дешевле.
7. Вот единственное расположение, при котором 2 дома находятся в безопасности от нападения извне (рис. 15). Все 10 домов расположены здесь, как требовалось в задаче: по 4 на каждой из пяти прямых стен.
8. Деревья, оставшиеся несрубленными, расположены так, как показано на рис. 16.
Как видите, они действительно образуют 5 прямых рядов, и в каждом ряду 4 дерева.
Рис. 14 а, б. Как оградить озеро от коров
Рис. 15. Дома и стены (два дома в безопасности)
Рис. 16. Сад после вырубки деревьев
9. Кошка должна съесть первой ту мышь, которая находится у кончика ее хвоста (рис. 9).
Попробуйте, начав с этой мыши счет по часовой стрелке, зачеркивать каждую 13-ю мышь, и вы убедитесь, что белая мышь будет зачеркнута последней.
10. На рис. 17 показано, как надо сложить из 18 спичек два четырехугольника, чтобы один был втрое больше другого по площади. Второй четырехугольник является параллелограммом с высотой, равной 11/2 спичкам.
Рис. 17
Площадь параллелограмма равна его основанию, умноженному на высоту. В основании нашего параллелограмма лежат 4 спички, высота же равна 11/2 спичкам; следовательно, площадь равна 4 × 11/2, т. е.
